材料力学（土）笔记
第三章 扭 转
1．概 述
若构件的变形时以扭转为主，其他变形为次而可忽略不计的，则可按扭转变形对其进行强度和刚度计算
等直杆发生扭转变形的受力特征是杆受其作用面垂直于杆件轴线的外力偶系作用
当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可用材料力学的方法求解
对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，就不能用材料力学的方法来求解
2．薄壁圆筒的扭转
设一薄壁圆筒的壁厚远小于其平均半径（），其两端承受产生扭转变形的外力偶矩，由截面法可知，圆筒任一横截面n-n上的内力将是作用在该截面上的力偶
该见加偏旁内力偶矩称为扭矩，并用表示
由横截面上的应力与微面积之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力
考察沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，预先在圆筒表面上画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子
在圆筒两端施加外力偶矩后，发现圆周线保持不变，纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持直线
薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，知识相互间绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上各点处切应力的方向必与圆周相切。
相对扭转角：圆筒两端截面之间相对转动的角位移，用来表示
圆筒表面上每个格子的指教都改变了相同的角度，这种直角的该变量称为切应变
白马会所是什么意思这个切应变和横截面上沿沿圆周切线方向的切应力是相对应的
由于圆筒的极对称性，因此沿圆周各点处切应力的数值相等
由于壁厚远小于其平均半径，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化
薄壁圆筒扭转时，横截面上任意一点处的切应力值均相等，其方向与圆周相切
由横截面上内力与应力间的静力学关系，从而得
由于为常量，且对于薄壁圆筒，可以用其平均半径代替，积分
为圆筒横截面面积，引进，从而得到
由几何关系，可得薄壁圆筒表面上的切应变和相距为的两端面间相对扭转角之间的关系式，式子中为薄壁圆筒的外半径
当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角与外力偶矩（在数值上等于）之间成正比
可得和间的线性关系为
上式称为材料的剪切胡克定律，式子中的比例常数称为材料的切变模量，其量纲和单位与弹性模量相同，钢材的切边模量的约值为
剪切胡克定律只有在切应力不超过某材料的某极限值时才适用
该极限称为材料的剪切比例极限，适用于切应力不超过材料剪切比例极限的线弹性范围
3．传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图
3.1 传动轴的外力偶矩
设一传动轴，其转速为n（r/min），轴传递的功率由主动轮输入，然后通过从动轮分配出去
设通过某一轮所传递的功率为，常用单位为kW
1 kW=1000 W；1 W=1 J/s ; 1 J=1 N·m
当轴在稳定转动时，外力偶在t秒内所做的功等于其矩与轮在t秒内的转角非诚勿扰李响之乘积
因此，外力偶每秒钟所作的功即功率为
即得到作用在该轮上的外力偶矩为
二建报考条件学历专业要求外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向相同，从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反
3.2 扭矩及扭矩图
可用截面法计算轴横截面上的扭矩
为使从两段杆所求得的同一横截面上扭矩的正负号一致
按杆的变化情况，规定杆因扭转而使其纵向线在某段内有变成右手螺旋线的趋势时
则该段杆横截面上的扭矩为正，反之为负
若将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢表示，则当力偶矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负
为了表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在横截面的位置
可仿照轴力图的作法绘制指挥官phev扭矩图
4．等直圆杆扭转时的应力·强度条件
4.1 横截面上的应力
与薄壁圆筒相仿，在小变形下，等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力
①几何方面
为研究横截面上任意一点处切应变随点的位置而变化的规律
在等直圆杆的表面上作出任意两个相邻的圆周线和纵向线
当杆的两端施加一对其矩为的外力偶后，可以发现：
两圆周线绕杆轴线相对旋转了一个角度，圆周线的大小和形状均为改变
在变形微小的情况下，圆周线的间距也未变化
纵向线则倾斜了一个角度
假设横截面如同刚性平面般绕杆的轴线转动，即平面假设
上述假设只适用于圆杆
为确定横截面上任一点处的切应变随点的位置而变化的规律
假想地截取长为的杆段进行分析
由平面假设可知，截面b-b相对于截面a-a绕杆轴转动了一个微小的角度
因此其上的任意半径也转动了同一角度
由于截面转动，杆表面上的纵向线倾斜了一个角度
纵向线的倾斜角就是横截面周边上任一点A处的切应变
同时经过半径上任意一点的纵向线在杆变形后也倾斜了一个角度
为圆心到半径上点的距离
即为横截面半径上任意一点处的且应变
由几何关系可得
即
上式表示等直接圆杆横截面上任一点处的切应变随该点在横截面上的位置而变化的规律
式子中的表示相对扭转角沿杆长度的变化率，对于给定的横截面是个常量
在同一半径的圆周上各点处的切应变都相同，且与成正比
②物理方面
由剪切胡可定律可知，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比
令相应点处的切应力为，即得横截面上切应力变化规律表达式
由上式可知，在同一半径的圆周上各点处的切应力 值均相等，其值与成正比
因为垂直于半径平面内的切应变，故的方向垂直于半径
③静力学方面
由于在横截面任一直径上距圆心等远的两点处的内力元素等值且反向
则整个截面上的内力元素的合力必等于零，并组成一个力偶，即为横截面上的扭矩
因为的方向垂直于半径，故内力元素对圆心的力矩为
许文姗由静力学中的合力矩原理可得
经整理后得
上式中的积分仅与横截面的几何量有关，称为极惯性矩，用表示
其单位为，整理得
可得
上式即等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式
当等于横截面的半径时，即在横截面周边上的各点处，切应力将达到其最大值
在上式中若用代表，则有
式中，称为扭转截面系数，单位为
推导切应力计算公式的主要依据为平面假设，且材料符合胡克定律
因此公式仅适用于在线弹性范围内的等直圆杆
为计算极惯性矩和扭转截面系数
在圆截面上距圆心为处取厚度为的环形面积作为面积因素
可得圆截面的极惯性矩为
圆截面的扭转截面系数为
由于平面假设同样适用于空心截面杆件，上述切应力公式也适用于空心圆截面杆
设空心圆截面杆的内、外直径分别为和，其比值
则可得空心圆截面的极惯性矩为
所以
扭转截面系数为
4.2 斜截面上的应力
在圆杆的表面处用横截面、径向截面及与表面相切的面截取一单元体
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