2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
1．(2013四川，文1)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}．则A∩B＝( )．
A． B．{2}
C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}
2．(2013四川，文2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )．
A．棱柱
B．棱台
C．圆柱
D．圆台
3．(2013四川，文3)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )．
A．A B．B
C．C D．D
A．p：x∈A,2x∈B
B．p：xA,2x∈B
C．p：x∈A,2xB
D．p：xA,2xB
5．(2013四川，文5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是( )．
A． B．2 C． D．1
6．(2013四川，文6)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．
A．2，
B．2，
C．4，
D．4，
7．(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )．
8．(2013四川，文8)若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )．
A．48 B．30 C．24 D．16
9．(2013四川，文9)从椭圆(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )．
A． B． C． D．
10．(2013四川，文10)设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)，若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是( )．
A．[1，e] B．[1,1＋e] C．[e,1＋e] D．[0,1]
1．
答案：B
解析：{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．
2．
答案：D
解析：从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆，正视图与侧视图为等腰梯形，故此几何体为圆台．
3．
答案：B
解析：设z＝a＋bi，则共轭复数为＝a－bi，
∴表示z与的两点关于x轴对称．
故选B．
4．
答案：C
解析：原命题的否定是x∈A,2xB．
5．
答案：D
解析：y2＝8x的焦点为F(2,0)，它到直线x－y＝0的距离d＝＝1.故选D．
6．
答案：A
解析：由图象知函数周期T＝2＝π，
∴ω＝＝2，把代入解析式，得，即.
∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又，∴φ＝.
故选A．
7．
答案：A
解析：由分组可知C，D一定不对；由茎叶图可知[0,5)有1人，[5,10)有1人，
∴第一、二小组频率相同，频率分布直方图中矩形的高应相同，可排除B．故选A．
8．
答案：C
解析：画出可行域，如图．
联立解得
即A点坐标为(4,4)，
由线性规划可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即a＝16，b＝－8，
∴a－b＝24.故选C．
9．
答案：C
解析：由题意知A(a,0)，B(0，b)，P，
∵AB∥OP，
∴.∴b＝c.
∵a2＝b2＋c2，∴.
∴.故选C．
10．
答案：A
解析：当a＝0时，f(x)＝为增函数，
∴b∈[0,1]时，f(b)∈[1，]．
∴f(f(b))≥＞1.
∴不存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，故D错；
当a＝e＋1时，f(x)＝，当b∈[0,1]时，只有b＝1时，f(x)才有意义，而f(1)＝0，
∴f(f(1))＝f(0)，显然无意义，故B，C错．故选A．
第二部分(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．(2013四川，文11)的值是__________．
12．(2013四川，文12)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ.则λ＝__________.
13．(2013四川，文13)已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________.
14．(2013四川，文14)设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是__________．
15．(2013四川，文15)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是__________．
11．答案：1
解析：.
12．
答案：2
解析：由平行四边形法则知＋＝＝2，
∴λ＝2.
13．答案：36
解析：由基本不等式可得4x＋≥＝，当且仅当4x＝即时等号成立，
∴，a＝36.
14．答案：
解析：∵sin 2α＝－sin α，α∈，
∴2sin αcos α＝－sin α，cos α＝.
∵α∈，
∴，.
∴tan 2α＝＝.
15．答案：(2,4)
解析：由题意可知，若P为平面直角坐标系内任意一点，则
|PA|＋|PC|≥|AC|，等号成立的条件是点P在线段AC上；
|PB|＋|PD|≥|BD|，等号成立的条件是点P在线段BD上，
所以到A，B，C，D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点．
直线AC方程为2x－y＝0，直线BD方程为x＋y－6＝0，
∴解得
即所求点的坐标为(2,4)．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(2013四川，文16)(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．
解：设该数列的公比为q，由已知，可得
a1q－a1＝2,4a1q＝3a1＋a1q2，
所以，a1(q－1)＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.
由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．
故公比q＝3，首项a1＝1.
所以，数列的前n项和Sn＝.
17．(2013四川，文17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝.
(1)求sin A的值；
(2)若，b＝5，求向量在方向上的投影．
解：(1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝，得
cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝.
则cos(A－B＋B)＝，即cos A四川高考是全国几卷＝.
又0＜A＜π，则sin A＝.
(2)由正弦定理，有，
所以，sin B＝.
由题知a＞b，则A＞B，故.
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