2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2016年四川，文1，5分】设为虚数单位，则复数（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】试题分析：由题意，，故选C．
（2）【2016年四川，文2，5分】设集合，为整数集，则集合中元素的个数是（ ）
（A）6 （B）5 （C）4 （D）3
【答案】B
【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，故选B．
【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（3）【2016年四川，文3，5分】抛物线的焦点坐标是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由题意，的焦点坐标为，故选D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
（4）【2016年四川，文4，5分】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度
（C）向上平行移动个单位长度 （D）向下平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】由题意，为得到函数，只需把函数的图像上所有点向左移个单位，故选A．
【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．
（5）【2016年四川，文5，5分】设实数，满足且，实数，满足，则是的
（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，且，则，而当时不能得出，且．故是的充分不必要条件，故选A．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（6）【2016年四川卷，文6，5分】已知函数的极小值点，则（ ）
（A） （B） （C）4 （D）2
【答案】D
【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故极小值为，由已知得，故选D．
【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
（7）【2016年四川，文7，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：，，)
（A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年
【答案】B
【解析】设从2015年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，，两边取常用对数得，故选B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（8）【2016年四川，文8，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他
在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所
示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的值分别为3，2．则
输出v的值为（ ）
（A）35 （B）20 （C）18 （D）9
【答案】C
【解析】初始值，，程序运行过程如下表所示，，，，
，，，，跳出循环，输出，故选C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行
解答．
（9）【2016年四川，文9，5分】已知正三角形的边长为，平面内的动点，满足
，，则的最大值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】如图所示，建立直角坐标系．，，．∵满足，
∴点的轨迹方程为：，令，，
．又，则，∴．
∴的最大值是，故选B．
【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（10）【2016年四川，文10，5分】设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与 垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，则的面积的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】解法1：设，易知，，，，则直线：
，，与轴的交点为，设，则交点横坐标为，与轴的交点为，则，故
解法2：特殊值法，若，可算出，，故，排除BC；令，算
出，故选A，故选A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分
（11）【2016年四川，文11，5分】 ．
【答案】
【解析】由三角函数诱导公式．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．
（12）【2016年四川，文12，5分】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
【答案】
【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为，高为1，
三棱锥的体积为．
【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．
（13）【2016年四川，文13，5分】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为、，则为整数的概
率= ________．
【答案】
【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为，作为作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件，
其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
（14）【2016年四川，文14，5分】若函数是定义上的周期为2的奇函数，当时，，则 _______．
【答案】
【解析】∵函数是定义上的周期为2的奇函数，当时，，∴，
，则．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．
（15）【2016年四川，文15，5分】在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称；④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是_______（写出所有真命题的序号）．
【答案】
【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；
对于，设曲线关于轴对称，则对于曲线表示同一曲线，其伴随曲
线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为
与的图像关于轴对称，所以正确；对于，令单位圆
上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，故正确；对于④，直线
上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，故错误．所以正确的序号为．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．
三、解答题：本大题共6题，共75分．
（16）【2016年四川，文16，12分】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制
定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年
100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，
，……分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．
说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数．
解：（1）∵，整理得：，解得：．
（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为万．
（3）根据频率分布直方图，得；，
，∴中位数应在组内，设出未知数，
令，解得；∴中位数是．
【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积
，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
（17）【2016年四川，文17，12分】如图，在四棱锥中，，，，．
（1）在平面内一点，使得直线平面，并说明理由；
（2）证明：平面平面．
解：（1）解法1：
为的中点，直线平面．取的中点，连接，，，
则，∵平面，平面，∴平面．∵，
，∴是平行四边形，∴．∵平面，平面，
∴平面．∵，∴平面平面，∵平面，∴平面．
解法2：
取棱的中点（平面），点即为所求的一个点．理由如下：因为，，
所以．所以四边形是平行四边形，从而．又平面，平面．
（说明：取棱的中点，则所的点可以是直线上任意一点）．
（2）∵，，与相交，∴平面，∵平面，∴，
由（1）及，可得，∴，∴，∵，
四川高考是全国几卷∴平面，∵平面，∴平面平面．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
（18）【2016年四川，文18，12分】在中，角所对的边分别是，且．
（1）证明：；
（2）若，求．
解：（1）由正弦定理，可知原式可以化解为，∵和为三角形内
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