2022届高三年级十二月份阶段性测试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡．上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡－并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A ＝{x |log 2(x －1)≤1}，B ＝{x |2
1－x
≥1
2
}，则A ∩B ＝ A ．(－∞，2] B ．(1，2] C ．[1，2] D ．(1，3] 2．命题“ x ∈[1，2]，x 2－2a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是
A ．a ≤2
B ．a ≥2
C ．a ≤4
D ．a ≥4
3．欧拉恒等式：e iπ
＋1＝0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：e i θ
＝cos θ＋isin θ(θ∈R )令θ＝π得到的．设复数z ＝e π
3i
，则根据欧拉公式
z 的虚
部为
A ．
32 B ．π3 C ．1
2
D ．1 4．函数f (x )＝2(x －b )2a 的图像如图所示，则
A ．a ＞0，0＜b ＜1
B ．a ＞0，－1＜b ＜0
C ．a ＜0，－1＜b ＜0
D ．a ＜0，0＜b ＜1 5．已知a ，b ，c 均为单位向量，且a ＋2b ＝3c ，则a ·c ＝
A ．－13
B ．13
C ．1
D ．43
6．若tan α＝2tan10°，则cos(α－80°)
sin(α－10°)
＝
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．将9个志愿者名额全部分配给3个学校，参加疫情防控常态化宣传活动，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是
A ．16
B ．18
C ．27
D ．28 8．对于任意的实数x ∈[1，e]，总存在三个不同的实数y ∈[－1，5]，使y 2
xe 1－y
－ax －ln x ＝0
成立，则实数a 的取值范围是
A ．[25e 4，3e )
B ．(25e 4，e 2－1e ]
C ．(0，25e 4]
D ．[25e 4，e 2－3e )
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
2020年各月公共充电桩保有量(单位：台)
A ．2020年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势
B ．2020年5月较2020年4月公共充电桩保有量增加超过1万台
C ．2020年2月到2020年3月，公共充电桩保有量增幅最大
D ．2020年下半年各月公共充电桩保有量均突破45万台
10．等比数列{a n }各项均为正数，a 1＝20，2a 4＋a 3－a 2＝0，数列{a n }的前n 项积为T n ，则
A ．数列{a n }单调递增
B ．数列{a n }单调递减 B ．当n ＝5时，T n 最大 D ．当n ＝5时，T n 最小 11．已知函数f (x )＝3－2sin x ＋sin2x ，则下列结论正确的是
A ．函数f (x )是周期函数
B ．函数f (x )在[－π，π]上有4个零点
C ．函数f (x )的图象关于(π，3)对称
D ．函数f (x )的最大值为53
2
12．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1＝3，BD ＝1，直线A 1C 1与BD 所成的角为60°，AA 1＝22，三棱锥A 1－BC 1D 的体积为1
2
，则
A ．四棱柱ABCD －A 1
B 1
C 1
D 1的底面积为3
4
B ．四棱柱ABCD －A 1B 1
C 1
D 1的体积为3
2
C ．四棱柱ABC
D －A 1B 1C 1D 1的侧棱与底面所成的角为45° D ．三棱锥A 1－ABD 的体积为1
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(x ＋
1
3
x
)2n (n ∈N *)展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为 ． 14．已知a ＞0，b ＞0，写出一个关于a 与b 的等式，使1a ＋9
b 是一个变量，且它的最小值为
16，则该等式为 ．
15．已知双曲线C ：x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0))的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是C 的一条渐近
线上的一点，且OA ⊥F 1A ，AF 2＝2AF 1，则双曲线C 的离心率为 ．
16．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．现有一张半径为R 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同．如果把k 次对折后得到的不同规格的图形面积和用S k 表示，由题意知S 1＝πR 2
2，S 2＝3πR
2
4，则
S 4＝ ；如果对折n 次，则 ．(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)
如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC 边的中垂线交BC 于D ，交AB 于E ，且BE ＝2AE ． (1)求sin B 的值； (2)求△ABC 的面积．
18．(本小题满分12分)
在①a 3＋a 5＝14，②S 4＝28，③a 8是a 5与a 13的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，其前n 项和T n ＝2n
＋λ，λ为常数，a 1＝b 1， ． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 100的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．(本小题满分12分)
垃圾是人类生产和生活中产生的房弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，因此需要无害化、减量化处理．某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析，得到样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个镇的人口(单位：万人)和该镇年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得
∑=20
1
i i
x
＝80，
∑=20
1
i i
y
＝4000，
()
疫情结束需4个条件∑=-20
1
2
i i
x x ＝80，
()∑=-20
1
2
i i
y y
＝8000，()()∑=--20
1
i i i y y x x ＝700．
(1)请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的线性相关程度； (2)求y 关于x 的线性回归方程；
(3)某机构有两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万
元，下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表：
器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年)，以频率估计概率，该镇选择购买哪一－款垃圾处理机器更划算?
参考公式：相关系数r ＝
()()
()()
∑∑∑===----n i n
i i
i
n
i i
i
y y
x x y y
x x 1
1
2
1
，对于一组具有线性相关关系的数据
(x i ，y i )(i ＝1，2，…，20)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
()()
(
)
∑∑==---=n
i i
n
i i
i
x x y y
x x b
1
2
1
ˆ，x b y a
ˆˆ-=．
20．(本小题满分12分)
如图，已知多面体ABCDEF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，F A ⊥底面ABCD ，AF ＝2，且→
DE ＝λ→
AF (0＜λ＜1)． (1)求证：CE //平面ABF ；
(2)若二面角B －CF －E 的大小为3π
4
，求λ的值．
21．(本小题满分12分)
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