高考复习试卷含答案
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．(2017·山东)复数3－i
1－i
等于 ( )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2＋i
D ．2－i 答案：C
解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C.
2．(2017·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i
2＋3i
＝
( )
A ．0
B ．2
C ．－2i
D ．2i
答案：D
解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i.
3．(2017·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋2
1－i
是实数，那么z 等于
( )
A ．2i
B ．i
C ．－i
D ．－2i 答案：D
解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴
z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i)
＝2－a ＋(a ＋2)i
2，
则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D.
4．(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( )
A ．2i
B ．0
C ．－2i
D ．－2 答案：B
解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B.
5．(2017·北京朝阳4月)复数z ＝2－i
1＋i
(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 答案：D
解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－3
2
i ，它对应的点在第四象限，故选D.
6．(2017·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b
a
的值为
( )
A ．－2
B ．－12
C ．2 D.1
2
答案：A
解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a
的值为－2，故选A.
7．(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B
解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝1
4
－3i ，故选B.
8．(2017·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6
C.2
3
π
D.56
π 答案：D
解析：3－i 对应的点为(3，－1)，所求直线的斜率为－33，则倾斜角为5
6π，故选D. 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b i
c ＋
d i
为实数，则
( )
A ．bc ＋ad ≠0
B ．bc －ad ≠0
C ．bc －ad ＝0
D ．bc ＋ad ＝0 答案：C
解析：因为a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ，所以由题意有bc －ad
c 2＋d
2＝0⇒bc －ad ＝0.
10．已知复数z ＝1－2i ，那么1
z ＝ ( )
A.
55＋255i B.
55－255i C.15＋25i
D.15－25i 答案：D 解析：由z ＝1－2i 知z ＝1＋2i ，于是1
z ＝1
1＋2i ＝1－2i 1＋4＝15－25i.故选D.
11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1
z 2
是实数，则实数b 的值为
( )
A ．6
B ．－6
C ．0 D.1
6
答案：A
解析：z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝(3＋2b )＋(6－b )i 5是实数，则实数b 的值为6，故选A.
12．(2017·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝
( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B
解析：α(i )表示i n ＝1的最小正整数n ，因i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i )＝4.故选B. 13．若z ＝12＋3
2i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于
( )
A ．－12＋3
2i B ．－3＋33i
C ．6＋33i
D ．－3－33i 答案：B
解析：∵T r ＋1＝C r 4x
4－r (－z )r ， 由4－r ＝2得r ＝2，
∴a 2＝C 24(－z )2
＝6×(－12－32
i )2
＝－3＋33i .故选B.
14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B
解析：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞90°，B ＞90°－A ， ∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴z 对应的点在第二象限．
15．如果复数2－bi
1＋2i
(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于
( )
A. 2
B.23 C ．－2
3
D ．2
答案：C
解析：2－bi 1＋2i ＝(2－bi )(1－2i )5
＝(2－2b )5＋(－4－b )
5i
由2－2b 5＝－－4－b 5得b ＝－23
.
16．设函数f (x )＝－x 5＋5x 4－10x 3＋10x 2－5x ＋1，则f (12＋3
2
i )的值为
( )
A ．－12＋32i B.32－12i
C.12＋32i D ．－32＋12i 答案：C
解析：∵f (x )＝－(x －1)5
∴f (12＋32i )＝－(12＋3
2
i －1)5
＝－ω5(其中ω＝－12＋3
2i )
＝－ω＝－(－12－32i )＝12＋3
2
i .
17．若i 是虚数单位，则满足(p ＋qi )2＝q ＋pi 的实数p ，q 一共有 ( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 答案：D
解析：由(p ＋qi )2＝q ＋pi 得(p 2－q 2
)＋2pqi ＝q ＋pi ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝0，q ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝0，q ＝－1，
或⎩⎨⎧
p ＝32，
q ＝1
2，
或⎩⎨⎧
p ＝－32，
q ＝1
2，
因此满足条件的实数p ，q 一共有4对．
总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特
别注意不要出现漏解现象，如由2pq ＝p 应得到p ＝0或q ＝1
2
.
18．已知(2x 2－x p )6的展开式中，不含x 的项是20
27
，那么正数p 的值是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案：C
解析：由题意得：C 46·1p 4·22＝2027
，
求得p ＝3.故选C. 总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x 的项，即常数项．
19．复数z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－
x －1)i (x ∈R )在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C
解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z ＝a ＋bi ，与复平面上的点Z (a ，b )对应，由z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )知：
a ＝－lg(x 2＋2)＜0，又2x ＋2－x －1≥2
2x ·2－x －1＝1＞0；
∴－(2x ＋2－x －1)＜0，即b ＜0.∴(a ，b )应为第三象限的点，故选C.
20．设复数z ＋i (z ∈C )在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数ω在映射f 下的象为－1＋2i ，则相应的ω为 ( )
A ．2
B ．2－2i
C ．－2＋i
D ．2＋i 答案：A
解析：令ω＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则ω＝[a ＋(b －1)i ]＋i ， ∴映射f 下ω的象为[a －(b －1)i ]·i ＝(b －1)＋ai ＝－1＋2i .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝－1，a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝0，a ＝2.
∴ω＝2. 第Ⅱ卷(非选择题 共50分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。) 21．(2017·崇文3月)已知z 是复数，i 是虚数单位，若(1－i)z ＝2i ，则z ＝________. 答案：－1＋i
解析：(1－i)z ＝2i ，z ＝2i
1－i ＝－1＋i.
22．(2017·上海)若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________. 答案：i
解析：z ＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－i ，
∴z ＝i.
23．(2017·江苏)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 答案：－20
解析：(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故(z 1－z 2)i 的实部为－20.
24．(2017·海淀4月)在复平面内，复数1＋a i
2017陕西高考i
(a ∈R )对应的点位于虚轴上，则a ＝________.
答案：0
解析：1＋a i i
＝a －i ，由于它对应的点在虚轴上，则a ＝0.
25．(2017·安徽宿州二中模拟考三)i 是虚数单位，则1＋C 16i ＋C 26i 2＋C 36i 3＋C 46i 4＋C 56i 5＋C 66i 6＝________.
答案：－8i
解析：1＋C 16i ＋C 26i 2＋C 36i 3＋C 46i 4＋C 56i 5＋C 66i 6＝(1＋i )6＝[(1＋i )2]3＝(2i )3＝－8i .
三、解答题(本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) 26．(本小题满分10分)计算下列问题： (1)(1＋i )71－i ＋(1－i )71＋i －(3－4i )(2＋2i )34＋3i
；
(2)(－32－1
2i )12＋(2＋2i 1－3i
)8.
分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式是知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷、少出错的效果．比如(1±i )2＝±2i ，
1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i
＝－i ，a ＋bi i ＝b －ai ，(－12±32i )3＝1，(12±3
2i )3＝－1等等． 解析：(1)原式＝[(1＋i )2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i )2]3·1－i 1＋i －8(3－4i )(1＋i )2(1－i )(3－4i )i
＝(2i )3·i ＋(－2i )3
·(－i )－8·2i (1＋i )i
＝8＋8－16－16i ＝－16i . (2)(－
32－12i )12
＋(2＋2i 1－3i
)8 ＝i 12·(－12＋32i )12＋⎣⎢⎢⎡⎦
⎥
⎥⎤
1＋i 12＋32i 8
＝1－(2i )4(12－3
2
i )
＝1－8＋83i ＝－7＋83i .
27．(本小题满分10分)求同时满足下列两个条件的所有复数z ；
(1)1＜z ＋10
z
≤6；
(2)z 的实部和虚部都是整数． 解析：设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，
则z ＋10z ＝x (x 2＋y 2＋10)x 2＋y 2＋y (x 2＋y 2
－10)x 2＋y
2i . ∵1＜z ＋10
z ≤6，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
y (x 2
＋y 2－10)＝0，
①
1＜x (x 2
＋y 2＋10)
x 2
＋y 2
≤6. ②
由①得y ＝0或x 2＋y 2＝10，将y ＝0代入②得1＜10x ＋x ≤6，与10
x
＋x ≥210＞6(x ＞0)矛盾，
∴y ≠0.将x 2＋y 2＝10代入②得1
2
＜x ≤3.
又x ，y 为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝±3.或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝±
1.
故z ＝1±3i 或z ＝3±i .
28．(本小题满分10分)已知z 1＝
32
a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33
b ＋(b ＋2)i (a ＞0、b ＞0)且3z 21＋z 2
2＝0，求z 1和z 2. 解析：∵3z 21＋z 2
2＝0， ∴(z 2z 1)2＝－3，即z 2
z 1
＝±3i . ∴z 2＝±3iz 1. 当z 2＝3iz 1时，得 －33b ＋(b ＋2)i ＝3i [32a ＋(a ＋1)i ]＝－3(a ＋1)＋3
2
ai . 由复数相等的条件，知
⎩⎪⎨⎪⎧
3b ＝a ＋1，b ＋2＝3
2a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1. ∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i .
当z 2＝－3iz 1时，得－33b ＋(b ＋2)i ＝3(a ＋1)－3
2
ai ，
由复数相等的条件，知⎩⎪⎨⎪⎧
－3b ＝a ＋1，
b ＋2＝－3
2a .
∴⎩⎨⎧
a ＝－107
，
b ＝1
7.
∵已知a ，b ∈(0，＋∞)， ∴此时适合条件的a ，b 不存在． ∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i .
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