[知识梳理]
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
4．在△ABC中，常有的结论
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )
(2)在△ABC中，＝.( )
(3)若a，b，c是△ABC的三边，当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．( )
(4)在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则此三角形是钝角三角形．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．教材衍化
(1)(必修A5P10A组T4)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
答案 1
解析 由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝＝＝，所以＝＝2××＝1.
(2)(必修A5P20A组T11)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．
答案 7
解析 因为△ABC的面积S△ABC＝AB·ACsinA，所以10＝×5×8sinA，解得sinA＝，因为角A为锐角，所以cosA＝.根据余弦定理，得BC2＝52＋82－2×5×8cosA＝52＋82－2×5×8×＝49，所以BC＝7.
3．小题热身
(1)(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcosC，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.
(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.
答案
解析 由已知可得sinA＝，sinC＝，则sinB＝sin(A＋C)＝×＋×＝，再由正弦定理可得＝⇒b＝＝.
题型1 利用正、余弦定理解三角形
(2018·郑州预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝( )
A．－ B. C．－ D.
边角互化法．
答案 B
解析 由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，由B∈(0，π)，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.
(2018·重庆期末)在△ABC中，已知AB＝4，AC＝4，∠B＝30°，则△ABC的面积是( )
A．4 B．8
C．4或8 2017陕西高考D.
注意本题的多解性．
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝42＝(4)2＋BC2－2×4BCcos30°，
解得BC＝4或BC＝8.
当BC＝4时，AC＝BC，∠B＝∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，∠C＝120°，
△ABC的面积为AB·BCsinB＝×4×4×＝4.
当BC＝8时，△ABC的面积为AB·BCsinB＝×4×8×＝8，故选C.
方法技巧
正、余弦定理在解三角形中的应用技巧
1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC能够实现边角互化．见典例1.
2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.
3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.
冲关针对训练
1．(2017·河西五市联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b－a)sinA＝(b－c)(sinB＋sinC)，则角C等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意，得(b－a)a＝(b－c)(b＋c)，∴ab＝a2＋b2－c2，∴cosC＝＝，∴C＝，故选A.
2．(2018·山东师大附中模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A＝－，c＝，sinA＝sinC.
(1)求a的值；
(2)若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．
解 (1)在△ABC中，c＝，sinA＝sinC，由正弦定理＝，得a＝·c＝×＝3.
(2)由cos2A＝1－2sin2A＝－得，sin2A＝，由0<A<，得sinA＝，则cosA＝＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
化简，得b2－2b－15＝0，
解得b＝5(b＝－3舍去)．
所以S△ABC＝bcsinA＝×5××＝.
题型2 利用正、余弦定理判断三角形的形状
(2017·陕西模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
用边角互化法．
答案 B
解析 ∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．故选B.
[条件探究1] 将典例条件变为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 解法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，
因为－π<A－B<π，所以A＝B.故选B.
解法二：由正弦定理得2acosB＝c，
由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.故选B.
[条件探究2] 将典例条件变为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
答案 C
解析 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，
∴a∶b∶c＝5∶11∶13，
故设a＝5k，b＝11k，c＝13k(k>0)，由余弦定理可得
cosC＝＝＝－<0，
又∵C∈(0，π)，∴C∈，
∴△ABC为钝角三角形．故选C.
[条件探究3] 将典例条件变为“若bcosB＋ccosC＝acosA”，试判断三角形的形状．
解 由已知得
b·＋c·＝a·，
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