浙江强基联盟2024年10月高一联考
数学试题
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则A B = （ ）
A.{}1,2
B.{}0,1,2,3
C.{}0,1,1,2,2,3
D.{}0,1,2 2.“ABC △是等腰三角形”是“ABC △是等边三角形”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.不等式2560x x −+<；的解集是（ ） A.{}15x x <<
B.{}15x x x <>或
C.{}23x x <<
D.{}
23x x x <>或 4.命题“x ∀∈R ，21x >”的否定是（ ）
A.x ∀∈R ，21x ≤
B.x ∃∈R ，21x >
C.x ∃∈R ，21x ≤
D.x ∀∈R ，21x <
5.不等式20x a −>对于任意23x <<；恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.{}2a a ≤
B.{}3a a ≥
C.{}22a a −≤≤
D.a ≤≤ 6.已知全集U =R ，集合{}05A x x =
≤≤，()(){}
270B x x x =−−<，106x C x x +=< − ，则阴影部分对应的集合是（ ）
A.{}25x x <≤
B.{}26x x <<
C.{}57x x ≤<
D.{}56x x << 7.已知0a b >>，0c d <<，22b c >，则下列不等式正确的是（ ）
A.0b c +<
B.ac bd >
C.a c b d >
D.2ab c > 8.若0y >，
241y x +=，则21x y +的最小值为（ ） A.8 B.9 C.10 D.11
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若集合(){},A
x y y x ==，(){}2,B x y y x ==，则（ ） A.0A ∈
B.()2,2A ∈
C.()()0,0A B ∈
D.(){}()1,1A B ⊆ 10.已知关于x 的方程()2110x a a ++++=
，则（ ） A.当3a =时，方程只有一个实数根
B.1a ≤−是方程有实数根的必要不充分条件
C.该方程不可能有两个不等正根
D.该方程不可能有两个不等负根
11.若关于x 的不等式320x bx ax ab +−−<；的解集为{}
3x x <，则下列选项正确的是（ ）
A.0a <
B.9a =
C.3b =
D.3b =− 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设,a b ∈R ，集合{}1,P a =，{}1,Q b =−−，若P Q =，则a b −=______.
13.已知23a <<，21b −<<−，则2a b +的取值范围是______.
14.若方程223
ax x x −=−有且仅有一个实数解，则实数a 取值集合为______ 四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（10分）
已知集合{}1,1A =−，
{}B x x a =≥. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；
（2）若{}1A B = ，求实数a 的取值范围.
16.（12分）解下列不等式（组）：
（1）230x −< （2）271,32.x x x − >− >
（3）225x x >+
17.（13分）
为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查.
（1）小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合{}2
224,0A x m x m m =+≤≤>，合理游戏时长为{}060B x x =≤≤，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求m 的取值范围；
（2）某班共50人，其中10人玩游戏1Y ，12人玩游戏2Y ，7人玩游戏3Y ，已知玩游戏3Y 的均不玩游戏1Y ，只玩游戏3Y 的人数与游戏1Y 和游戏2Y 都玩的人数相同，只玩游戏2Y 的人数与1Y 和2Y 都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不
玩的同学人数.
18.（13分）
现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：m ）为x .
（1）若要使窗户面积不小于2平方米，求x 的取值范围；
（2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（i ）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x 为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？
（ii ）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由.
19.（14分）
已知二次函数242y mx x m =−+（m ∈R ，且0m ≠）.
（1）若1m =−，求该二次函数的最大值；
（2）已知该函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若ABC △
的面积为m 的值；
（3）若{}242T y y mx x m ==−+，b T ∀∈，{}0a x x ∀∈<，1a b a
+≤恒成立，求m 的取值范围. 20.（15分）
设数集{}()12,,,2,n I a a a n n ≥∈N 满足：①I Z ⊆；②a ∀，b I ∈且a b ≠，有a b I ×∈，则称数集I 具有性质P .
（1）判断集合{}1,2,4A =，{}0,1,5B =是否具有性质P ，并说明理由；
（2）证明：集合{}
3,k S x x k ==∈N 具有性质P ； （3）求满足性质P 的所有三元素集T .
浙江强基联盟2024年10月高一联考
数学卷参考答案与评分标准
1.A 由{}0,1,2A =，{}1,2,3B =可得{}1,2A B = .故选A.
2.B 等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形一定是等腰三角形.故选B.
3.C 原不等式等价于()()230x x −−<，即23x <<.故选C.
4.C 命题“x ∀∈R ，21x >”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤”.故选C.
5.D 2min a x <，即22a ≤.故选D.
6.D 由图可知阴影部分对应的集合是集合()U B C A ，故选D.
7.D 由22b c >，可得b c >，即b c >−，故A 错误；由0c d −>−>，0a b >>，可得0ac bd −>−>，所以ac bd <，故B 错误；取2a =，1b =，2c =−，1d =−，则a c b d =，故C 错误；22ab b c >>，故选D.
8.B 222221144559x x y x y y y x x y +=++=++≥+=
，当且仅当26x =，13y =时取到最小值9.故选B.
9.BCD 集合A 为点集，故选项A 错误，选项B 正确；()0,0A ∈，()()1,1A B ∈ ，选项C 、D 正确.故选BCD.
10.AC 对于A 选项，3a =时，方程2440x x ++=的解为2x =−，故A 正确；对于B 选项，方程有实数根，则0∆≥，即()()130a a +−≥，所以1a ≤−或3a ≥，故B 错误；对于C 选项，()121x x a +=−+，121x x a =+，不可能有两个不等正根，C 正确；对于D 选项，当3a >时，方程有2个不等负根，故D 错误.故选AC.
11.AD 原不等式等价于()()20x b x a +−<，根据a 的正负讨论，当0a <；时，解集为{}x x b <−，则3b =−；当0a =或0a >时，解集不可能为{}3x x <.故选AD.
12.0 由P Q =可得1a =−，1b −=，则0a b −=
. 13.()2,1− 由23a <<，21b −<<−可得221a b −<+<. 14.121,,89 − 方程223ax x x −=−有且仅有一解等价于()21320a x x −+−=有一个不等于3的实数解.当
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