世界⼗⼤数学难题是⼈类攀登⾼峰的追求极点，是数学领域的皇冠！其中闻名遐迩的所谓“七⼤数学难题”，是由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute, CMI)提出的。2000年5⽉24⽇，克雷数学研究所宣布，该机构收集了数学历史上极其重要的七道经典难题，⽽解答出其中任何⼀题的第⼀个⼈将获得100万美元奖⾦。
因此，这七道题也被称为“七⼤数学难题”。这七道题分别是P与NP问题（NP完全问题）、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－⽶尔斯存在性和质量缺⼝假设（杨－⽶尔斯理论）、纳维叶－斯托克斯⽅程（纳卫尔－斯托可⽅程）、贝赫和斯维讷通－戴尔猜想（BSD猜想）。以下列举了更全⾯的所有的世界⼗⼤数学难题分别介绍如下：
历史上庚子年灾难⼀、P(多项式时间)问题对NP(⾮确定多项式时间)问题
在周末的⼀个晚上，若你参加了⼀个盛⼤的晚会。由于感到局促不安，你想知道这⼀⼤厅中是否有你已经认识的⼈。你的主⼈曾经向你提议说，你⼀定认识那位正在甜点盘附近⾓落的⼥⼠罗丝。不出⼀秒钟，你就会向那⾥扫视，并发现你的主⼈是正确的。
但是，假如没有这样的暗⽰，你势必环顾整个⼤厅，⼀个个地审视每⼀个⼈，看是否有你认识的⼈。⽣成问题的⼀个解，通常⽐验证⼀个给定的解时间花费要多很多。这是⼀般现象⼀个例⼦。相类似的问题是：假如某⼈告诉你，数13，717，421可以写成两个较⼩的数的乘积，你或者不知道是否应该相信他，但如果他告诉你它可以因式分解为3607乘上3803，那么你就可以⽤⼀个袖珍计算器容易验证这是正确的。
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⼈们发现，所有的完全多项式⾮确定性问题，都可以转换为⼀类叫做满⾜性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，⼈们于是就会猜想是否这类问题存在⼀个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是⾮常著名的NP=P?的猜想。
提出⼈：P对NP问题，曾经是克雷数学研究所⾼额悬赏的七个千禧年难题之⼀，同时也是计算机科学领域的最⼤难题，因为关系到计算机完成⼀项任务的速度到底有多快。P对NP问题是Steve Cook于1971年⾸次提出。
娄艺潇身高"P/NP问题"：这⾥的P指多项式时间(Polynomial)，⼀个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为P问题，这意味着计算机可以在有限时间内完成计算;NP指⾮确定性多项式时间(nondeterministic polynomial)，⼀个复杂问题不能确定在多项式时间内解决，假如NP问题能到算法使其在多项式时间内解决，也就是证得了P=NP。⽐NP问题更难的则是NP完全和NP-hard，⽐如围棋就是⼀个NP-hard问题。2010年8⽉7⽇，来⾃惠普实验室的科学家Vinay Deolalikar声称已经解决了"P/NP问题" ，并公开了证明⽂件。
难题解决：美国惠普实验室的数学家维奈·迪奥拉⾥卡围绕⼀个众所周知的NP问题进⾏论证，并且给出了P≠NP的答案。这就是布尔可满⾜性问题(Boolean Satisfiability Problem)，即询问⼀组逻辑陈述是
word无法复制粘贴否能同时成⽴或者互相⽭盾。迪奥拉⾥卡声曾经称，他已经证明，任何程序都⽆法迅速解答这个问题，因此，它不是⼀个P问题。
如果迪奥拉⾥卡的答案成⽴，说明P问题和NP问题是不同的两类问题，同时也意味着计算机处理问题的能⼒有限，很多任务的复杂性从根本上来说也许是⽆法简化的。
对于有些NP问题，包括因数分解，P≠NP的结果并没有明确表⽰它们是不能被快速解答的；但对于其⼦集NP完全问题，却注定了其⽆法很快得到解决。其中⼀个著名的例⼦就是旅⾏商问题(Travelling Salesman Problem)，即寻从⼀个城市到另⼀个城市的最短路线，答案⾮常容易验证，不过，如果P≠NP，就没有计算机程序可以迅速给出这个答案。迪奥拉⾥卡的论⽂草稿已经得到了复杂性理论家的认可，但随后公布的论⽂终稿还将接受严格的审查。
⼆、霍奇(Hodge)猜想
提出⼈：霍奇猜想曾经是代数⼏何的⼀个重⼤的悬⽽未决的难题。它是由威廉·⽡伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于⾮奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义⼦簇的多项式⽅程所表述的⼏何的关联的猜想。属于世界七⼤数学难题之⼀。
值得⼀提的是，霍奇猜想与费马⼤定理和黎曼猜想成为⼴义相对论和量⼦⼒学融合的m理论结构⼏何拓扑载体和⼯具。⽽黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯⽅程、杨―⽶尔理论、P问题对NP问题⼀直被世界称为21世纪七⼤数学难题。2000年5⽉，美国的克莱数学促进会为每道题悬赏百万美元求解。医生的英语单词
霍奇猜想是关于⾮奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义⼦簇的多项式⽅程所表述的⼏何的关联的猜想。它在霍奇的著述的⼀个结果中出现，他在1930⾄1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况(但不仅限于这种情况)。
苏格兰数学家威廉·霍奇: 怎么能知道哪些类的同源性在任何给定歧管，相当于⼀个代数周期? ⽆疑这是⼀个伟⼤的想法，仅仅是他不能证明。我们有⼀个⼩的平滑的"空间"(在每个邻域类似于欧⼏⾥德空间，但在更⼤的规模上，"空间"是不同的)，这是由⼀⽅程描述，使得这个空间具有均匀的维度。然后我们获取基本的"拓扑"信息，并将其分解成更⼩的⼏何部分(由数字对标记)。⼏何部分内的理性东西被称为"Hodge循环"。每个较⼩的⼏何部分是称为代数循环的⼏何部分的组合。基本上我们有⼀个"桩"。我们仔细看看它，看看它是由许多"切碎的⽊材"组成。"切碎的⽊材"⾥⾯有"twigs"(霍奇循环)。霍奇猜想曾经断⾔，对于成堆的切碎的⽊材，树枝实际上是被称为原⼦(代数循环)的⼏何部分的组合。
难题解决：这个叫霍奇猜想的问题，假如⽤通俗的话说，就是"再好再复杂的⼀座宫殿，都可以由⼀堆积⽊垒成"。如果⽤⽂⼈的语⾔说就是: 任何⼀个形状的⼏何图形，不管它有多复杂(只要你能想得出来)，它都可以⽤⼀堆简单的⼏何图形拼成。⽽在实际⼯作中，我们⽆法在⼆维平⾯的纸上绘画出来⼀种复杂的多维图形，霍奇猜想就是把复杂的拓扑图形分拆成为⼀个个构件，我们只要按照规则安装就可以理解设计者的思想。霍奇猜想提出不到100年，⾄今有了第⼀个例⼦。
霍奇(Hodge)猜想，⼆⼗世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有⼒的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单⼏何营造块粘合在⼀起来形成。这种技巧是变得如此有⽤，使得它可以⽤许多不同的⽅式来推⼴；最终导致⼀些强有⼒的⼯具，让数学家在对他们研究中所遇到的形形⾊⾊的对象进⾏分类时取得巨⼤的进展。不幸的是，在这⼀推⼴中，程序的⼏何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何⼏何解释的部件。
霍奇猜想曾经断⾔，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的⼏何部件的(有理线性)组合。
三、庞加莱猜想
提出⼈：庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的猜想，曾经是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年⼤奖难题之⼀。其中三维的情形被俄罗斯数学家格⾥⼽⾥·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是⼀个拓扑学中带有基本意义的命题，它将有助于⼈类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深⼈们对流形性质的认识。
亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，法国数学家、天体⼒学家、数学物理学家、科学哲学家。他1854年4⽉29⽇⽣于法国南锡，1912年7⽉17⽇卒于巴黎。亨利·庞加莱的成就不在于他解决了多少问题，⽽在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的⼤问题。庞加莱猜想，只是其中的⼀个。
世界上⼀位数学史家曾经如此形容1854年出⽣的亨利·庞加莱(Henri Poincare): "有些⼈仿佛⽣下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼⼈的声⾳在我⽿边响起。"
事实上，1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了⼀个拓扑学的猜想: "任何⼀个单连通的，封闭的三维流形⼀定同胚于⼀个三维的球⾯。" 如果简单的说，⼀个闭的三维流形就是⼀个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成⼀点，或者说在⼀个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成⼀点，这个空间就⼀定是⼀个三维圆球。后来，这个猜想被推⼴⾄三维以上空间，被称为"⾼维庞加莱猜想"。
假如你认为这个说法太抽象的话，下⾯不妨做这样⼀个想象: 我们想象这样⼀个房⼦，这个空间是⼀个球。或者想象⼀只巨⼤的⾜球，⾥⾯充满了⽓，我们钻到⾥⾯看，这就是⼀个球形的房⼦。
我们不妨再假设这个球形的房⼦墙壁是⽤钢做的，⼗分结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房⼦⾥。拿⼀个⽓球来，带到这个球形的房⼦⾥。随便什么⽓球都可以。这个⽓球并不是瘪的，⽽是已经吹成某⼀个形状，什么形状都可以(对形状也有⼀定要求)。但是这个⽓球，我们还可以继续吹⼤它，⽽且假设⽓球的⽪特别结实，肯定不会被吹破。还要假设这个⽓球的⽪是⽆限薄的。
接着，我们继续吹⼤这个⽓球，⼀直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先⽣猜想，吹到最后，⼀定是⽓球表⾯和整个球形房⼦的墙壁表⾯紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换⼀种⽅法想想: 假如我们伸缩围绕⼀个苹果表⾯的橡⽪带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表⾯，使它慢慢移动收缩为⼀个点。另⼀⽅⾯，如果我们想象同样的橡⽪带以适当的⽅
李靓蕾怎么认识王力宏向被伸缩在⼀个轮胎⾯上，那么不扯断橡⽪带或者轮胎⾯，是没有办法把它收缩到⼀点的。我们说，苹果表⾯是"单连通的"，⽽轮胎⾯不是。
看起来这是不是⾮常容易想明显? 事实上，数学可不是"随便想想"就能证明⼀个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。⼀个多世纪以来，⽆数的科学家为了证明它，并且绞尽脑汁、甚⾄于倾其⼀⽣还是⽆果⽽终。
难题解决：格⾥⼽⾥·佩雷尔曼在花了8年时间研究这个差不多⾜有⼀个世纪的数学难题后，在2002年11⽉和2003年7⽉之间，将3份关键论⽂的⼿稿粘贴到这个专门刊登数学和物理预印本论⽂的⽹站上，并⽤电邮通知了⼏位数学家，声称⾃⼰证明了⼏何化猜想。
到2005年10⽉，数位专家宣布验证了该证明，⼀致的赞成意见⼏乎已经达成： "如果有⼈对我解决这个问题的⽅法感兴趣，都在那⼉呢-让他们去看吧。"佩雷尔曼说，"我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。"
佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所⼤伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的⼈需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖⾦。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美⾦放到他那很微薄的收⼊中去。2006年，在佩雷尔曼公布他的3篇⽂章中的第⼀篇之后近4年，专家们终于达成了共识：佩雷尔曼解决了这个学科最令⼈肃然起敬的问题之⼀。但是猜想的解决却触发了⼀场风波。
对于佩雷尔曼，很多⼈知之甚少。他是⼀位伟⼤的数学天才，出⽣于1966年6⽉13⽇，他的天分使他很早就开始专攻⾼等数学和物理。16岁时，他曾经以优异的成绩在1982年举⾏的国际数学奥林匹克竞赛中摘得⾦牌。另外，他还是⼀名天才的⼩提琴家，并且桌球打得也相当出⾊。
从圣彼得堡⼤学获得博⼠学位后，佩雷尔曼⼀直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所⼯作。
上个世纪80年代末，他曾经到美国多所⼤学做博⼠后研究。之后⼜在斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明⼯作。
证明庞加莱猜想关键作⽤让佩雷尔曼很快曝光于世界，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据有⼈介绍说，有⼀个记者想给他拍照，被他⼤声制⽌; ⽽对于⼤名⿍⿍的《⾃然》《科学》采访，他同样不屑⼀顾。
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