2020年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.在等比数列{}n a 中，1,13139==a a ，则13log 1a 的值为
.
2.在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，21,F F 为两个焦点.若
02121=⋅+⋅BF BF AF AF ，则
2
1F F AB 的值为.
3.设0>a ，函数x
x x f 100
)(+
=在区间(]a ,0上的最小值为1m ，在区间[)+∞,a 上的最小值为2m ，若1m 20202=m ，则a 的值为
.
4.设z 为复数，若
i
z z --2
为实数(i 为虚数单位)，则3+z 的最小值为.
5.在△ABC 中，4,6==BC AB ，边AC 上的中线长为10，则2
cos 2sin
66
A
A +的值为.
6.正三棱锥ABC P -的所有棱长都为1，N M L ,，分别为棱PC PB PA ,，的中点，则该三棱锥的外接球被平面LMN 所截的截面面积为
.
7.设0,>b a ，满足：关于x 的方程
b a x x =++||||恰有三个不同的实数解321,,x x x ，且
b x x x =<<321，则b a +的值为_____________.
8.现有10张卡片，每张卡片上写有5,4,3,2,1中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为5,4,3,2,1的五个盒子中，规定写有j i ，的卡片只能放在i 号或j 号盒子中.一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则“好的”放法公共有____________种.
2
sin =
A 求C
B cos 2cos +的取值范围.10.（本题满分20分）对正整数n 及实数)0(n x x <≤，定义1
][]
[}{}){1(),(+⋅+-=x n
x n C x C x x n f 其中]
[x 表示不超过实数x 的最大整数，][}{x x x -=.若整数2,≥n m 满足
123)1,(2,()1,(=-+++n
mn m f n m f n m f ，
求)1
,()2,(1,
(m
mn n f m n f m n f -+++ 的值.11.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，点C B A ,，在双曲线1=xy 上，满足ABC ∆为等腰直角三角
2020年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）
参考答案及评分标准
说明：
5.1高速公路免费几天2023年1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 在等比数列{}n a 中，9
13
13,1a a ，则1log 13a 的值为 ．
答案：1
3
．
解：由等比数列的性质知2
1
99
13
a
a a a ，故3391
213
13a a a ．所以11log 13
3
a ． 2. 在椭圆中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12
12
0AF AF BF BF ，则
12
AB
F F 的值为
． 答案
：洪欣肉丸子事件 天涯
2
． 解：不妨设的方程为2
22
2
1(0)x y a b
a b ，(,0),(0,)A a B b ，1(,0)F c ，
2(,0)F c ，其中22c
a b ．由条件知
22222
12
如何刷机12
()()
()20AF AF BF BF c a c a c b a b c ．
所以
2212
222
AB a b F F ． 3. 设0a
，函数100
()
f x x
x
在区间(0,]a 上的最小值为1m ，在区间[,
)a 上的最小值为2m ．若122020m m ，则a 的值为 ．
答案：1或100． 解：注意到()f x 在(0,10]上单调减，在[10,)上单调增．当(0,10]a 时，
12(),(10)m f a m f ；当[10,)a 时，1
2(10),()m f m f a ．因此总有
12
()(10)
2020f a f m m ，
即100202010120
a
a
，解得1a
或100a ．
4. 设z 为复数．若2
i
z z 为实数（i 为虚数单位），则3z 的最小值
张学友和张家辉到底是什么关系一吨柴油是多少升为 ．
答案． 解法1：设i(,)R z a
b a b ，由条件知
22
2
2
2(2)i
(2)(1)22Im Im
0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z a b a b a b ，
故22a b ．从而
2
22
23
(12)((3))
(3)
25z
a
b a
b
，
即35z
．当2,2a b 时，3z 取到最小值
解法2：由
2
i
R z z 及复数除法的几何意义，可知复平面中z 所对应的点在2与i 所对应的点的连线上（i 所对应的点除外），故3z 的最小值即为平面直
角坐标系xOy 中的点(3,0)到直线220x
y 2
2
325．
5. 在ABC 中，6,4AB BC ，边AC 上的中线长为，则
66sin cos 22
A A 的值为 ．
答案：211
256
．
解：记M 为AC 的中点，由中线长公式得
222242()BM AC AB BC ， 可得222(64)410
8AC
．
由余弦定理得2主持人沈冰
222228647
cos 22868
CA AB BC A CA AB ，所以
66224224
sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222
A A A A A A A A
= 2
2
222sin cos 3sin cos 2222A A A A
231sin 4A
213211
cos 44256
A
． 6. 正三棱锥P ABC 的所有棱长均为1，,,L M N 分别为棱,,PA PB PC 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN 所截的截面面积为 ．
答案：
3
． 解：由条件知平面LMN 与平面ABC 平行，且点P 到平面,LMN ABC 的距离之比为1:2．设H 为正三棱锥P ABC 的面ABC 的中心， PH 与平面LMN 交于
点K ，则PH 平面ABC ，PK 平面LMN ，故1
2
PK PH ．
正三棱锥P ABC 可视为正四面体，设O 为其中心（即外接球球心），则O
在PH 上，且由正四面体的性质知14OH PH ．结合1
2
PK PH 可知OK OH ，
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