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1.理解排列组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.
3.熟练掌握排列、组合的性质.
4.能解决简单的实际问题.
1.排列与组合的概念:
注意：如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.
排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.
从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.
在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.
在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.
如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.
(2)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.
注意：如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.
当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.
组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.
我们再也回不去了对不对根据定义区分排列问题、组合问题.
2.排列数与组合数：
(1)排列数的定义:一般地，我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
3.排列数公式与组合数公式：
(1)排列数公式：
其中m，n，且m≤n.
(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.
阶乘：自然数1到n的连乘积，叫做腊八祝福n的阶乘，用n!表示，即
由此排列数公式
所以
(3)组合数公式:
(4)组合数的两个性质:
性质1：
性质2：
类型一.排列的定义
例1：判断下列问题是不是排列，为什么？
(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一
名同学参加下午的活动.
(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.
[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.
(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.
练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？
(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.
(2)集合M={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b文件夹打不开，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程和多少个焦点在x轴上的双曲线方程
[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.
(2)第一问不是第二问是.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a音节音序，b的大小一定；在双曲线中，不管a>b还是a<b，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.
类型二杨梅酒怎么泡 制作方法.组合的定义
例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.
(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.
练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是
排列问题.
(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.
类型三.排列数与组合数
例3：计算下列各式.
(1) (2) (3)
[解析] [答案] (1)7×6×5×4×3=2520；
(2)=13×12=156；
(3)7×6×5×4×3×2×1=5040.
练习1：乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可表示为( )
A. B. C. D.
[答案] D
[解析] 排列的顺序为由小到大，故n=m+20，而项数是21故可表示为
例4：计算
[答案]
练习2：计算
[答案] 原式
类型四.排列问题
例５：3个女生和5个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有种不同的排法，因此共有种不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有种不同排法，因此共有种不同的排法.
练习1：3个女生和5个男生排成一排.
(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有14400种不同的排法.
(2)3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中减去两端都是女生的排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有种不同的排法.
类型五.组合问题
例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？
[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有种方案.
练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？
[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有种选法，第二步满足乙任务有种选法，第三步满足丙任务，有种选法，故共有种不同选法.
类型六.排列与组合综合问题
例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？
[答案] 362880
[解析] 从10名男运动员中选3名有种，从9名女运动员中选3名有种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A，B，C；先让A选择女运动员，有3种不同选法；B选择女运动员的方法有2种；C只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为，根据分步计数原理，共有种不同参赛方法.
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