类似神探伽利略考研数学的知识点整理：1.极限
差不多学习了⼀年，离考试也不远了，考前抽⼀天时间整理⼀下所有的知识点和题型，也就相当于复习了。
第⼀章：极限
极限，简单地来说就是⽆限地趋近⼀个值（但并不是真的等于这个值），⽽永远处在接近这个值的趋势上，永远靠近，永不停⽌。
从书上的定义看，如果对任何ε>0，总存在⾃然数N，使得当n>N时，不等式|xn-x|<ε恒成⽴。这个定义在实际中也会出题考察。
lim(x->1) x2-1/x-1 =2。这个函数在x=1处不存在，但x->1时极限存在，并且为2。直接算当然算不了，但是可以转化为x+1，也就是2. 判定极限存在的充要条件：左右极限各⾃存在且相等。在很多时候，两侧极限的计算⽅法是不⼀样的，因此左右相等是有意义的。
极限不存在：左右极限不存在/不相等，或者极限⽆穷⼤。
极限的⼀些性质：
1.唯⼀性。如果⼀个数列的极限存在，那么它的极限值唯⼀，⽽且他的⼦串也都是这个极限值。
2.保号性。在这⾥先引⼊⼀个去⼼邻域的概念：去⼼领域，就是去掉了中⼼点，但包含其左右的⼀个范围。保号性的含义，就是指⾃变量在趋近⼀个值时，肯定能到⼀个去⼼邻域，在这个范围内的值同号。
这⾥放⼀个例题：f'(0)=1, lim(x->1) f'(x)/(x-1)3=2，求x=1？
解： 在这道题中， f'(x)/(x-1)3=2)>0.
所以，存在某个值ξ>0，使得 0<|x-1|<ξ，即在这个去⼼领域内时，f'(x)/(x-1)3也是⼤于0的。
当x在(1-ξ,1)时即左半邻域时，x-1<0，分母⼩于0，那么分⼦f'(x)<0。同样，x在右半邻域时，f'(x)>0。因此，f(x)在x=1处取到了最⼩值。
保号性的更深层的理解：不管是数列极限还是函数极限。假设lim(x->x0)=A. 要注意函数和极限⼆者的对应关系。
1）若A>0，则存在ξ>0，使得0<|x|<ξ内，f(x)>0。符号取反亦然。即：极限>0可推原函数>0;
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2) 若存在ξ>0，使得0<|x|<ξ内，f(x)>0或≥0，则A≥0 。符号取反亦然。即：函数>0或者≥0，可推极限≥0。
3。收敛必有界，有界不⼀定收敛，⽐如(-1)n+1有界但不收敛。
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做极限的⼏种常⽤⽅法：
1.洛必达法则，洛必达法则是⼀个⽐较特殊的⽤法。它⽤在分式中，洛必达法则的使⽤有⼏个规则：
1）分⼦和分母要同趋于0或者同趋于⽆穷⼤；
2）在这⼀点处分⼦分母都要可导；
3）求导以后，极限存在，则就是答案；极限不存在，说明不能⽤洛必达法则；如果上下都还是不定式，那可以考虑继续⽤。
注意：洛必达法则是分⼦分母分别求导。不是分式求导法则(u/v)'！
特别注意：洛必达法则还有⼀个隐藏规则：只能⽤在分⼦/分母是乘除的运算中。事实上有时候加减也
能⽤，但是不好把握的⼈最好不要⽤。具体什么时候能⽤，要参考泰勒公式
2.等价⽆穷⼩的替换
⽆穷⼩的性质这⾥就不赘述了，记得⽆穷⼩加减/相乘/数乘也都是⽆穷⼩。常⽤的等价⽆穷⼩：
x->0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~e x-1~ln(1+x) 1-cosx~1/2 x2 (1+bx)a-1~abx
如果题中有感觉可以⽤但是不够，可以⾃⼰+1 -1凑形式。
重要极限：lim (1+x) 1/x =e。
注意，这些都是x趋于0时采⽤的，如果有需要，想办法代换成趋于0即可。
3.泰勒展开欧弟老婆
4.夹逼定理
春节过路费免费时间公布2023 5.单调有界的数列必有极限
极限题型（不定型类）的解法思路：0/0型：洛必达，泰勒展开都⾏
斗鱼蛇哥
∞/∞型：利⽤“抓⼤放⼩”，只看x最⾼阶
0/∞型：转化成上⾯两种就⾏
∞-∞型：这种情况，有分母的话就通分，没有分母就直接有理化，变成分式。
1∞型：利⽤lim (1+x) 1/x=e这个重要极限。
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在这⾥多提⼀句，泰勒公式真的是⼀个⾮常神奇的公式，它的本质是⽤⼀组多项式的和，去⽆限趋近于⼀个函数的某点；在现实中有很多⽤法，⽐如计算器就采⽤泰勒展开来计算sinx。⽽洛必达法则，从某种意义上来说，其实就是把分⼦和分母分别泰勒展开，第⼀次只⽐⾸项⼤⼩，⾸项⼀样⼤就去掉（再⽤洛必达）⽐第⼆项。。。如此往复直到算出结果。因此在有些加减的情况下也能算。
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在实际做题的时候有时候会做到⼀种迷糊的状态：上⾯的这些⽤法，都是针对不定型使⽤的。但如果⼀个极限直接就能算出来，那就直接算出来就好了。⽐如lim(x->0) cosx，这种根本就不⽤这些⽅法，直接就能看出来是1。考试的时候也最好不要犯迷糊。
初中教师个人总结
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