2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国卷3〕
理科数学
一、选择题:此题共12小题,每题5分,共60分。在每题给出的四个选项中,只有一项为哪
一项符合题目要求的。
1.集合22
{(,)1}A x y x y =+=,{(,)}B x y y x ==,那么A
B 中元素的个数为
A .3
B .2
C .1
D .0
2.设复数z 满足(1)2i z i +=,那么||z =
A .
12
B .
22
C .2
D .2
3.某城市为理解游客人数的变化规律,进步旅游效劳质量,搜集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量〔单位:万人〕的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,以下结论错误的选项是 A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加
C .各年的月接待游客量顶峰期大致在7,8月
D .各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比拟平稳 4.5
()(2)x y x y +-的展开式中3
3
x y 的系数为〔〕
A .-80
B .-40
C .40
D .80
5.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5
y x =,且与椭圆
22
1123
x y +=有公共焦点.那么C 的方程为〔〕 A .221810
x y -=
B .22145x y -=
C .22154x y -=
D .22
玉女春光图
143
x y -=
6.设函数()cos()3
f x x π
=+
,那么以下结论错误的选项是〔〕
A .()f x 的一个周期为2π-
B .()y f x =的图像关于直线83
x π
=对称 C .()f x π+的一个零点为6
罗志祥结婚了嘛x π
=
D .()f x 在(
,)2
π
π单调递减
7.执行右图的程序框图,为使输出S 的值小于91,那么输入的正整数N 的最小值为 A .5 B .4 C .3 D .2
8.圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,那么该圆柱的体积为〔〕 A .π
B .
34
π C .
2
π    D .
4
π 9.等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.假设236,,a a a 成等比数列,那么{}n a 前6项的和为 A .-24
王蓉个人资料B .-3
C .3
D .8
10.椭圆22
22:1x y C a b
+=〔0a b >>〕的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的
圆与直线20bx ay ab -+=相切,那么C 的离心率为〔〕 A .
63
B .
33
C .
23
D .13
11.函数2
1
1()2()x x f x x x a e
e --+=-++有唯一零点,那么a =〔〕
A .12
-
B .
13
C .
12
D .1
12.在矩形ABCD 中,1,2AB AD ==,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.假
设AP AB AD λμ=+,那么λμ+的最大值为 A .3
B .22
C .5
D .2
二、填空题:〔此题共4小题,每题5分,共20分〕
13.假设,x y 满足约束条件0,20,0x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
那么34z x y =-的最小值为________.
14.设等比数列{}n a 满足12131,3a a a a +=--=-,那么4a =________.
15.设函数1,0,()2,0
x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 那么满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是________.
16.,a b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b
都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有以下结论: ①当直线AB 与a 成60角时,AB 与b 成30角; ②当直线AB 与a 成60角时,AB 与b 成60角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60.
其中正确的选项是________〔填写所有正确结论的编号〕
三、解答题:〔共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选
考题,考生根据要求作答〕 〔一〕必考题:共60分. 17.〔12分〕
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
,sin 0,2A A a b +===
〔1〕求c ;
〔2〕设D 为BC 边上一点,且AD AC ⊥,求ABD △的面积.
18.〔12分〕某超市方案按月订购一种酸奶,每天进货量一样,进货本钱每瓶4元,售价每
瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经历,每天需求量与当天最高气温〔单位:℃〕有关.假如最高气温不低于25,需求量为500瓶;假如最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;假如最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购方案,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
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〔1〕求六月份这种酸奶一天的需求量X 〔单位:瓶〕的分布列;
〔2〕设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y 〔单位:元〕.当六月份这种酸奶一天的进货量〔单位:瓶〕为多少时,Y 的数学期望到达最大值? 19.〔12分〕如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,
△ACD
是直角三角形.ABD CBD ,AB
BD .
〔1〕证明:平面ACD
平面ABC ;
D
B
C
E
〔2〕过AC 的平面交BD 于点E ,假设平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两局部.求二面角D
AE
C 的余弦值.
20.〔12分〕抛物线2
:2C y x ,过点〔2,0〕的直线l 交C 于A ,B 两点,圆M 是以线段
AB 为直径的圆.
〔1〕证明:坐标原点O 在圆M 上;
〔2〕设圆M 过点P 〔4,2〕,求直线l 与圆M 的方程. 21.〔12分〕函数()1ln f x x a x =--.
〔1〕假设()0f x ≥,求a 的值;
〔2〕设m 为整数,且对于任意正整数n ,2
111(1)(1)(1
)2
22n
m ,求m 的最
小值.
〔二〕选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做,那么按所做的第
一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2,
x t y kt =+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕,直线2l 的参数方
程为2,
x m m
y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
〔m 为参数〕,设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C .
〔1〕写出C 的普通方程:
〔2〕以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系,设3l :
(cos sin )0ρθθ+-=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.
23.[选修4-5:不等式选讲]〔10分〕
函数()||||f x x x =+1--2. 〔1〕求不等式()f x ≥1的解集;
〔2〕假设不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空,求m 的取值范围.
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国3〕
理科数学参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C
5.B
6.D
7.D 8.B
李解范冰冰9.A
10.A 11.C 12.A
二、填空题
13.1-  14.8-
15.1(,)4
-+∞
16.②③
三、解答题 17.解:
〔1〕由可得tan 3A =23
A π=
在ABC ∆中,由余弦定理得2
22844cos 3
c c π
=+-,即22240c c +-= 解得6c =-〔舍去〕,4c = 〔2〕由题设可得2
CAD π
∠=
,所以6
BAD BAC CAD π
∠=∠-∠=
故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为
1sin 2611
2
AB AD AC AD π=
又ABC ∆的面积为1
42sin 232
BAC ⨯⨯∠=ABD ∆3 18.解:
〔1〕由题意知,X 所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
()2162000.290P X +==
=,()363000.490P X ===,()2574
关于六一儿童节的手抄报
5000.490
P X ++===. 因此X 的分布列为:
X  200 300 500 P
〔2〕,因此只需考虑200n ≤≤500
当300500n ≤≤时,
假设最高气温不低于25,那么642Y n n n =-=;