2021年全国高考数学甲卷真题及参考答案
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{}
40<<=x x M ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤=531x x
N ，则=⋂N M ()
A ．⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤
<310x x B ．⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<≤431x x
C ．{}
5
4<≤x x D ．{}
5
0≤<x x 2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
/万
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()
A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．己知()i z i 2312
+=-，则=z (
)
A ．i 2
31-
-B ．i 231+
-C ．i +-
2
3D ．i --
2
34．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足
V L lg 5+=．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据
约为
(
)
259.11010
≈(
)A ．5
.1B ．2
.1C ．8
.0D ．6霸道游戏名字
.05．已知21F F ，是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且︒=∠6021PF F ，213PF PF =，则C 的离心率为()A ．
27
B ．
2
13C ．7
D ．13
6．在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为G F E ,,．该正方体截去三棱锥EFG A -后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是()
A ．
B ．
C ．
D ．
7．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S 设甲：0>q ，乙：{}n S 是递增数列，则()
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠程朗玛峰最新高程为86.8848(单位：m )，三角高程测量法是珠峰高程则量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有
C B A ,，三点，且C B A ,，在同一水平面上的投影C B A ''',，满足︒='''∠45B C A ，︒='''∠60C B A 由C 点测得B 点的仰角为︒15B B '与C C '的差为100；由B 点测得A 点的
仰角为︒45，则C A ，两点到水平面C B A '''的高度差C C A A '-'约为(
)
A ．346
B ．373
C ．446
D ．473
9．若⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈20πα，，α
α
αsin 2cos 2tan -=
，
则=αtan (
)
A ．
1515B ．
55C ．
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3
5D ．
3
1510．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()
A ．
3
1B ．
5
2C ．
32D ．
5
411．已知C B A ,，是半径为1的球O 的球面上的三个点，且BC AC ⊥，1==BC AC ，则三棱锥ABC O -的体积为()
A ．
12
2B ．
12
3C ．
4
2D ．
4
312．设函数()x f 的定义域为R ，()1+x f 为奇函数，()2+x f 为偶函数，当[]2,1∈x 时，
()b ax x f +=2.若()()630=+f f ，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛29f (
)
公交卡充值A ．4
9-
B ．2
3-
C ．
47D ．
2
5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线2
1
2+-=x x y 在点()31--，处的切线方程为_______________．
14．已知向量()1,3=a ，()0,1=b ，b k a c +=.若c a ⊥，则=k ______．
15．已知21F F ，为椭圆14
16:2
2=+y x C 两个焦点，Q P ，为C 上关于坐标原点对称的两点，
且21F F PQ =，则四边形21QF PF 的面积为______．16．已知函数()()ϕω+=x x f sin 2的部分图像如图所
示，则满足条件
()()03
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7>⎪⎪⎭
⎫  ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫  ⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππf x f f x f 的最小正整数x 为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计
270
130
400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有%99的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：()()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
2
2
异地取消银行卡≥k)
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18．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列；②数列{}n
S 是等差数列；
③123a a =.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．已知直三棱柱111C B A ABC -中，侧面B B AA 11为正方形．2==BC AB ，F E ，分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11B A 上的点，11B A BF ⊥．(1)证明：DE BF ⊥；
(2)当D B 1为何值时，面C C BB 11与面DEF 所成的二面角的正弦值最小？
20．抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线1:=x l 交C 于Q P ，两点，且
OQ OP ⊥.已知点()02，
M ，且⊙M 与l 相切．(1)求C ，⊙M 的方程；
(2)设321A A A ，，是C 上的三个点，直线21A A ,31A A 均与⊙M 相切．判段直线32A A 与⊙M 的位置关系，并说明理由．
21．已知0>a 且1≠a ，函数()x a
a
x x f =()0>x ．
(1)当2=a 时，求()x f 的单调区间；
(2)若曲线()x f y =与直线1=y 有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 22=．
(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A 的直角坐标为()01，，M 为C 上的动点，点P 满足AM AP 2=
，写出P 的轨迹
1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数()2-=x x f ，()1232--+=x x x g ．(1)画出()x f y =和()x g y =的图象；(2)若()()x g a x f ≥+，求a 的取值范围．