２ Ｔ
毛 宁１ 李益禛２
（１〃北京林业大学林学院 ，北 京 １０００８３；２〃北京林业大学经济管理学院 ，北 京 １０００８３）
摘 要 ：随着城市化的进程 ，空气污染问题越来越严重 。针对全国３１个 主要城市的空气质量问题
，基于主成分分析方 法 ，借 助 Ｒ 软件
中图分类号 ：Ｆ２
文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１６７２－３１９８（２０１４）１０－００４９－０２
１ 引言
ｎ
ｘｉ
ｎ金童卢比奥
（ ２
随着城市化进程的不断推 进 ，近 年 来 ，全国各大城市均 其中 ｘｊ ＝ ｉ＝１ ｎ ｊ ，ｓｊ
Ｘｉｊ－Ｘｊ ｉ＝１ ｎ－１
，得标准化样本阵 频频出现“雾 霾 ”天 气 ，空气质量问题愈发严重 。 而 影 响 空 气质量的因素又是复杂的 ，只有到最主要的因素 ，才 可 以 较好的解决空气质量问题。随着多元统计分析的普及和应 用 ，主 成分分析法（ＰＣＡ）已成为一种新兴的评价方法 ，在 环
Ｚ＝（Ｚｉｊ
）。 ２〃２〃２ 相关系数矩阵计算
熿ｒ１１ ｒ１２ … ｒ１ｐ
燄
ｒ２１ ｒ２２
… ｒ２ｐ
Ｚ Ｚ 境质量综合评价方面应用广 泛。 主 成 分 分 析 （Ｐｒｉｎ］ｉｐｌ＿
Ｒ＝
＝
－１
Ｃｏｍｐｏｎ＿ｎｔＡｎ［ｌｙ
ｓｉｓ，简 称 ＰＣＡ）方法是一种把原来多 个 指 标化为少数几个 互 不 相关的综合指标的多元统计方法 ，可
燀ｒｐ１ ｒｐ２ … ｒｐｐ燅 ｎ （ｘｋｉ－珔ｘ ｎ
ｘｋｊ－珔ｘ ｉ）（ ｊ）
以达到数据化简 、揭 示 变量之间关系和进行统计解释的目
其中 ｒｉｊ ｉ，ｊ＝１，２，… ，ｐ 的。在实际应用中主要用来对数据集的属性去进行相关分 析和降维。而其实判定一个区域的空气质量需考虑的因素
为相关系数。
十分复杂 ，进 行主 成 分 分析需要抓住其各因素之间的内在 关系 ，寻影响环境质量的最大因素 。 ２ 主成分分析方法
２〃１ 基本原理 主成分分析方法是建立一种从高维空间到低维空间的 ２〃２〃３ 特征值和特征向量计算
解特征方 程｜λＩ－Ｒ｜＝０，常 用 雅 可 比 法 （Ｊ［］ｏ＼ｉ杭州市民卡网上办理
）求 出 特 征值 ，并使其按大小顺序排列 λ１ ≥λ２ ≥… ≥λｐ≥０。 分别求出对 应 于 特 征 值 λｉ 的 特 征 向 量 ＿ｉ（ｉ＝１，２，… ， ｐ
ｐ），要 求 ‖＿ｉ‖ ＝１，即 ＿ｊ＝１，其 中 ＿ｉｊ表 示 向 量 ＿ｉ 的 第ｊ个 映射 ，即 把多个指 标 转 化为少数几个综合指标的一种统计 分量。
ｊ＝１
分析方法 ，其目的是在保证 信息损失量最小的前提下 ，尽 可 能提取问题的主 要 方 面 ，从而对多变量数据进行最佳综合 简化。通常数学上的处理就是将原来 ｍ 个指标作线性组
计算主成分贡献率及累计贡献率： 贡献率： 累计贡献率： ｉ
λｋ
合 ，得 到一个新的综合指标。 选取第一个线性组合 Ｙ１（即 λｉ
（ｉ＝１，２，
… ，） ｋ＝１ （ｉ＝１，２
，… ，） 第一个综合指标）的方差来表示含有信息的多少 ，若 Ｙ１ 越 ｐ
λｋ
ｋ＝１
ｐ
ｐ
ｐ λｋ
ｋ＝１ 大 ，则 表示 Ｙ１包含的信息量就越多 。 如果在所有的线性组 合中选取的 Ｙ１方 差最大 ，则 称 Ｙ１为 第一主成分 ，其 方差在 总方差中所占比率称之为解 释 方 差 ，其 方 差 越 大 ，它 的 贡 献 越大 ，其 代表原始数据的能力就愈强。 如果第一主成分不 足以代表原来 ｍ 个指标 的 信 息 ，再 考 虑 选 取 第 ２ 个 线 性 组 合 Ｙ２，与 Ｙ１共同反映原始信息 ，通 常当前 ｎ个主成分的方 差占总方差的８５％ 以上即可认为这 ｎ个主成分能代表该数 据的大部分信息。 ２〃２ 方法步骤 ２〃２〃１ 数据标准化
为了排除数量级和量纲不同带来的影响 ，首 先 对 原 始 数据进行 标 准 化 处 理。 设 ｐ 维 随 机 向 量 ｘ＝ （ｘ１ ，ｘ２ ，… ， ｘｐ）Ｔ ，ｎ个 样品 ｘ＝（ｘ ，ｘ ，… ，ｘ ）Ｔ ，ｉ＝１，２，… ，ｎ，ｎ ，构
一般取累计贡 献 率 达 ８５％ ～９５％ 的 特 征 值 λ１ ，λ
２ ，… ， λｍ ，所 对应的第１、第２、… 、第 ｍ（ｍ≤ｐ）个 主成分。 计算主成分载荷：
ｌｉｊ＝ｐ（ｚｉ，ｘｊ）＝ 槡λｉ＿ｉｊ（ｉ，ｊ＝１，２，… ，ｐ） 各主成分的得分：
熿ｚ１１ ｚ１２ … ｚ１ｍ
燄
ｚ２１ ｚ２２ … ｚ２ｍ
Ｚ＝
燀
ｚｎ１ ｚｎ２ … ｚｎｍ燅 ３ 实验分析 ３〃１ 实验数据介绍
实验分析选 取 了 ２００９ 年 北 京 、天 津 、石 家 庄 、长 春 、哈 尔滨 、太 原和银川等３１个 中国主要城市的空气质量指标数 ｉ ｉ１ ｉ２ ｉｐ
＞ｐ 造样本阵
，对样本阵元素进行如下标准化变换 ： Ｘｉｊ－珚Ｘ
ｊ
据 ，其 中包括的污染因子为二氧化硫 、二 氧 化 氮 、可 吸 入 颗 粒物三个变量 （单 位 ：毫 克／立 方 米 ），应用上述主成分分析 Ｚｉｊ＝ ｊ
，ｉ＝１，２，…ｐ 方法 ，借 助 Ｒ 软件按上述的步骤进行计算。
— ４９
— ＝
表 １ 主要城市空气质量指标（２００９年）
可吸入
可吸入
Ｘ２均
有较强 的 负 相 关。 从第一主成分的特征向量 构 成 特 征来看 ，Ｘ１、Ｘ２即 可吸 入 颗 粒 物 和 ＳＯ２ 在整个空气质量中 序号 区域 ＳＯ２ ＮＯ２ 序号 区域 ＳＯ２ ＮＯ２ 颗 粒 物 颗 粒 物
１ 北京 ０〃０３４ ０〃０５３ ０〃１２１ １７ 武汉 ０〃０４４ ０〃０５４ ０〃１０５ 占有较重的地 位。 所 以 说 ，造成空气质量较差的原因中可
吸入颗粒物和 ＳＯ ＮＯ
２ 占
据 主 要 地 位， ２ 相 对 较 少。 第 一 主 ２ 天津 ０〃０５６ ０〃０４ ０〃１０１ １８ 长沙 ０〃０３９ ０〃０４２ ０〃０９２ 成分中， 、 的 系 数 都 很 大 ，且 相 差 不 多， 虽 相 比 较
３ 石 家 庄 ０〃０４５ ０〃０３５ ０〃１０４ １９ 广州 ０〃０３９ ０〃０５６ ０〃０７ ４
太原 ０〃０７５ ０〃０２２ ０〃１０６ ２０ 南宁 ０〃０３２ ０〃０２８ ０〃０５ ５ 呼和浩特 ０〃０４９ ０〃０４ ０〃０７４ ２１ 海口 ０〃００７ ０〃０１６ ０〃０３８ ６ 沈阳 ０〃０５９ ０〃０３７ ０〃１１ ２２ 重庆 ０〃０５３ ０〃０３７ ０〃１０５ ７ 长春 ０〃０３４ ０〃０４３ ０〃０８５ ２３ 成都 ０〃０３８ ０〃０５５ ０〃１１１ ８ 哈 尔 滨 ０〃０４６ ０〃０５４ ０〃１０１ ２４ 贵阳 ０〃０５８ ０〃０２６ ０〃０７４ ９
上海 ０〃０３５ ０〃０５３ ０〃０８１ ２５ 昆明 ０〃０４１ ０〃０４６ ０〃０６７
１０ 南京 ０〃０３５ ０〃０４８ ０〃１ ２６ 拉萨 ０〃００８ ０〃０２１ ０〃０５ １１ 杭州 ０〃０４１ ０〃０５２ ０〃０９７ ２７ 西安 ０〃０４８ ０〃０４６ ０〃１１３
１２ 合肥 ０〃０２３ ０〃０２７ ０〃１１１ ２８ 兰州 ０〃０５９ ０〃０４３ ０〃１５ Ｘ１ Ｘ２ Ｘ３ 少 ，但 基本相当。第二 主 成 分 中 ，Ｘ３ 系
数 最 大 ，它 主 要 反 应 了 ＮＯ２ 的影响。第三 主 成 分 中 ，Ｘ１、Ｘ２ 的 系 数 都 很 大 ，Ｘ３ 的系数很小 ，基 本上 没 有 反 应 ＮＯ２ 的
影 响。 从 因 子 载 荷 矩 阵可以看出第一主成分和第二主成分可以包含空气质量的
全部 ，从 累计贡献 率 中 也可以看出前两个全局主成分的累 计贡献率为８６〃６１％ ，它基本上概括了 环境空气质量污染的 绝大部分信息。环境空气质量污染的主要因素依次为可吸
入颗粒物 、ＳＯ ＮＯ
２ 、 ２ 。 这说明环境空气质量污染主要还是 １３ 福州 ０〃０１４ ０〃０４ ０〃０６４ ２９ 西宁 ０〃０４２ ０〃０３２ ０〃１４１ １４ 南昌 ０〃０５４ ０〃０３７ ０〃０７９ ３０ 银川 ０〃０４４ ０〃０３１ ０〃０９ １５ 济南
０〃０５ ０〃０２５ ０〃１２３ ３１ 乌鲁木齐 ０〃０９３ ０〃０６８ ０〃１４
１６ 郑 州 ０〃０５３ ０〃０４６ ０〃０９９
３〃２ 实验流程
（１）首先计算三种指标的相关 系数矩阵 ，运 用 Ｒ 软件中 的］ｏｒ（ｘ
）语 句 ，计 算结果如下： 表 ２ 三项指标相关系数表
ｘ１（可 吸入颗粒物）
ｘ２（ＳＯ２） ｘ３（ＮＯ２） ｘ１ １〃０００００００ ０〃５９６３１１０ ０〃３５３３２８３ ｘ２ ０〃５９６３１１０ １〃０００００００ ０〃３１１８３９５ ｘ３
０〃３５３３２８３
０〃３１１８３９５
１〃０００００００
（２）由 特 征 方 程｜λＩ－Ｒ｜＝０，解 出 表 ２ 中
的 矩 阵 特 征 值。在 Ｒ 软件中输入 ＿ｉｇ＿ｎ（］ｏｒ（ｘ
））语 句 ，即可得到相关系 数矩阵的特征值和特征向量。 得 出 ３ 个特征值的精确近似 值从大 到 小 排 列 为 ：１〃８５５１７８２、０〃７４３２１５６、０〃４０１６０６３
。 特征向量见表３。
表 ３ 全局主成分对应特征向量
主 成 分
Ｚ１ Ｚ２ Ｚ３
Ｘ１ －０〃６２６３４０７ －０〃２８７０７９０ ０〃７２４７６４０３ Ｘ２ －０〃６１２５５９２ －０〃３９３７８３３ －０〃６８５３５０９５
Ｘ３
－０〃４８２１４９９
０〃８７３２２４１ －０〃０７０７８９６６ 特 征 值 λ
ｉ １〃８５５１７８２ ０〃７４３２１５６
０〃４０１６０６３
（３）对 于贡 献 率 和 累 计 贡 献 率 ，在 Ｒ 软 件 中 输 入 ｓｕｍ－
ｍ［ｒｙ（ｐ］［）
实 现 ，其 结果见下表４。 表 ４ 特征值及主成分贡献率
主 成 分 Ｚ１ Ｚ２ Ｚ３
特征值 １〃８５５１７８２ ０〃７４３２１５６ ０〃４０１６０６３ 贡献率 ０〃６１８３９２７ ０〃２４７７３８５ ０〃１３３８６８８
累计贡献率
０〃６１８３９２７
０〃８６６１３１２
１
（４）计 算初始因子载荷矩阵 ，在 Ｒ 软件中输入语句 ｐ］［
＄ｌｏ［＾ｉｎｇｓ
即 可得到结果 ，见 表５。 表 ５ 因 子 载 荷 矩 阵
主 成 分 Ｚ１ Ｚ２ Ｚ３
Ｘ１ －０〃６２６ －０〃２８７ ０〃７２５ Ｘ２
－０〃６１３ －０〃３９４ －０〃６８５
Ｘ３
－０〃４８２
０〃８７３
０
可 以 得 出 第 １ 主成分与各个变 量的线性组合为 Ｆ＝
两拨
－０〃６３６可 吸入颗粒物 －０〃６１３ＳＯ２ —０〃４８２ＮＯ２ 。 ３〃３ 实验结果分析
从表４ 可 以 看 出 ，第 一 主 成 分 Ｚ１ 的贡献率最大为 ６１〃８４％ ，３个变量系数均为负 ，可以得出第一主 成 分 与 Ｘ１、
煤燃烧 、工业排放的废气 、粉 尘 等 、生活排放的烟尘 、机 动 车 尾气等
，所以还是要加大对这方面的检测和治理工作 。 ４ 结论
针对全国空气 质 量 问 题
，本文介绍了一种主成分分析 的方法 ，利 用 Ｒ 软 件 对 ２００９ 年 的 我 国 ３１ 个主要城市的空 气质量进行试验 ，解 决 了空气质量评价需参考因素复杂问
题。得出空气质量污染主要来自于可吸入颗粒物和 ＳＯ２ 的
结论
，可以为控制大气污染提供支持 。 在进行实验时 ，利 用 了 Ｒ 语言在主成分分析 中 的 思 路 清晰 、步 骤简单且可以直接得出载荷系数的优点。 应 用 主
成分分析法 ，经 相关变换 ，可 以用少量综合变量取代原有的 多维变量 ，使数据结构得到 简 化
，并能从整体上对区域环境 质量进行把握 ，与 实际拟合度 较 好
，因而是环境质量综合评 价中一种简单易行的有效方
法。 可以实现将多个影响因素 进行处理 ，集中到少量的具 有重要影响的因素来进行分析。 但是需要结合很多的相关知 识 ，以实现全面的问题分析 ，且 不同的分析方法有不同的特 点 ，分析的结果只能做为参考 。 且本文应用主成分分析方法在此只是进行了一年的数据分
析 ，如 果要进行多 年 的 空气质量对比评价和建立评价模型
或预测模型
，需要建立更优化的算法 ，但由于个人能力有 限 ，只 是实现了最基本平面意义上的分析。 其 实 主 成 分 分 析在我们的进行很多项的复杂问题时提取重要信息有很大 的贡献 ，尤 其可以使原本具有复杂变量的问题简单化。 尤 其是在当今这样 的 大 数 据 时 代
，用最少的变量去包含尽可 能多的信息必成 为 大 势 所 趋 ，所以主成分分析在综合分析 中将会应用的越 来 越 多
，因此对算法的优化又成为首要的 任务。 参考文献贾冰李丽丽什么关系
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关于月亮的神话—
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