刘立淇
第六讲 最大与最小问题
先看一个简单的问题：
妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
这个题目，取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》.
开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决条件；没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶，这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图
从上图中很容易看出，最省时间的办法是：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样仅用16分钟就能沏茶了，这是没有“窝工”的最合理的安排，用最少的时间完成了工作.
像这样，研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题.
在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用.
一、数、式、方程（组）中的最大最小问题
例1 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？
分析与解答 这要考虑到一些隐含着的限制条件，可以这样思考：
①要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数.
②拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3＞5，所以加数大于4的数还要继续拆小.
③由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中可以不出现4.
④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3.
因为14=3×4+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.
对最大与最小问题一要注意变化规律，即弄清思路，又要注意限制条件，对于字母则要根据其特点进行讨论分析.
例2 已知p·q-1=x，其中p、q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是____李胜基最新电视剧
.
分析与解答 由p·q-1=x，x为奇数可知，
q·p=x+1是偶数
又因为p、q为质数，所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p=2.
为了使x尽可能大，只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值：
陈乔恩图片 2×997-1=1993.
方程中有参数和其他条件，也可能出现最大或最小问题.
的根为自然数，则最小自然数a=____.
分析与解答 由原方程可得
例4 求同时满足a+b＋c＝6，2a-b＋c=3，且b≥c≥0的a的最大值及最小值.
分析 既然是求a的最大值及最小值，就要想办法将b及c用a的代数式表示出来，再根据b≥c≥0来求.求b及c可将a＋b＋c＝6，2a-b+c=3看作含b、c的二元一次方程组莫妮卡贝鲁奇三级
二、统筹方法中教学思想方法的初步应用
在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子，统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作质量是十分有效的，所用数学思想是朴素而精彩的.
例5 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，使所有人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值.
分析 这是我们经常遇到而不去思考的问题，其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较，就太繁琐了.凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求解.
解：首先证明要使所用总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置.
假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中2≤b≤5），我们将这两个人位置交换，其他三人位置不动.这样调整以后第b位后面的人排队和打水所费时间与调整前相同，并且前b个人打水所费时间也未受影响，但第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之，要使所费时间最省，就要把打水需1分钟的人排在第一位置.
其次，根据同样的道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以，将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费的总时间最省，得出5人排队和打水时间总和的最小值是：
1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1=35（分钟）.
本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想，它使我们思考问题过程简化，更
有趣味.
例6 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？
分析 本题没给出排水管的排水速度，因此必须出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.
解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得：
4a-b=6a-3b，即a=b.
这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.
再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得
（xa-a）×2＝（2a-a）×15，
化简，得 2ax-2a=15a，
即 2xa=17a.（a≠0）
所以x=8.5
因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.
注意：x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.
例7 在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共5个.一号仓库存货10吨，二号仓库存货20吨，五号仓库存货40吨，三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费，那么最少要花多少运费？
分析与解答 由于运费是以每吨货物运输1千米为单位（即吨·千米）计量的，因此要使运费最省，就要把所有货物运往离货物最多的仓库适当近的地方集中.
我们依次计算以一、二、…、五号仓库为集中点所需的运费：
0.8×（20×100+40×400）=14400（元），
0.8×（10×100+40×300）=10400（元），
0.8×（100×200+20×100+40×200）=9600（元），
0.8×（10×300+20×200+40×100）=8800（元），
0.8×（10×400＋20×300）=8000（元）.贾乃亮离婚
因此，把所有货物集中到五号仓库所需的运费最少，运费为8000元.
说明：①由例7的枚举解法中我们可以看出，如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半，那么，把货物往此处集中花的运费是最少（或最少之一）的.这可以叫做“小往大处靠”原则.
可以解释如下.把各个仓库用A1，A2，…，An表示，Ai中的货物重量为mi，把所有货物集中到Ai的运输吨·千米数为ai（它与集中货物到A所需的运输费用成正比），货物总重量为M（=m1＋m2＋…＋mn）.
a1相比较，把货物集中到Ai（2≤i≤n）的运输吨·千米数ai所增加的至少是m1·A1Ai，所减少的至
多是（m2＋m3+…+mn）·A1Ai，这里A1Ai表示A1与Ai之间的距离.
∴ai≥a1.
这说明了“小往大处靠”原则是正确的.
处靠”原则不成立.例如.在例7中一、二、五号仓库中的存货如果分别为30吨、10吨、30吨，那么容易知道把货物集中到二号仓库运费最少.
例8 若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克，今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要几辆，才能把这些箱货物一次全部运走？
分析与解答 如果认为19.5÷1.5=13，因此只需13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走，这就把题意理解错了.因为货物是整箱装的，每辆汽车不一定都能满载.请先看一个反例，它说明甚至15辆车都不一定能一次运完.
例如这批货物共装有65只箱子，其中64箱的重量都是301千克（不超过353千克），另一箱的重量是236千克，那么总重量为
301×64+236=19500（千克）.
恰好符合总重为19.5吨的要求由于
301×5=1505（千克）
即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨，因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装4×15＝60（只）重量为301千克的箱子，这样，必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了.
既然15辆汽车无论如何无法一次运完上例中的65只箱子，那么16辆汽车能不能一次运完这些货物呢？答案是肯定的.事实上，
301×4+236＝1440（千克），
不超过1.5吨，这就是说，第16辆汽车可以装余下的4只重量为301千克的箱子和1只重量为236千克的箱子.所以，16辆汽车可以一次运完这些箱货物.
问题到这里仍然没有彻底解决.因为每箱货物的重量只要求不超过353千克，除此别无具体数量的限制，所以我们还应该对于一般情况（上例仅是一种特殊情况）来验证16辆汽车确实能一次运完全部箱子.
首先让12辆汽车装货刚刚超过1.5吨，即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨，再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这12只箱子分别装上另外3辆空车，每车4箱，由于每车4
箱总重量不超过
4×353＝1412（千克）.
因此也不超过1.5吨.这时，12＋3＝15辆车就装完原来前12辆车上全部货物，总重量超过
1.5×12=18（吨）.
而且每辆车载重不超过1.5吨，于是，剩下来装车的箱子总重量不足
19.5-18＝1.5（吨），
可以把它们全部装在第16辆车上运走.
三、最短的路线（几何中的最大最小问题）
例9 下图，直线l表示一条公路，A、B表示公路同一侧的两个村子，现在要在公路l上修建一个汽车站，问这个汽车站建在哪一点时，A村与B村到汽车站的距离之和最短？
分析与解我的老师 作文
答 如果A、B两个村子在公路l的两侧，问题就简单了，只要把A、B两点连接起来，与公路l的交点就是建站的地方，因为两点之间，线段最短.
A、B两村在公路l的同侧的情形，我们用“对称”的方法来解决，先求出A点关于l的对称点A＇，连结A＇B与l交点于C点，则C点就是汽车站应建的那个点.
为什么AC＋BC是距离最短呢？我们假设不选C点，而选择C外的一点C＇，显然有
AC＋CB=A＇C＋CB=A＇B，
AC＇+C＇B=A＇C＇+C＇B.
根据“连接两点的线中直线段最短”，有 A＇C＇＋C＇B＞A＇B，所以选择C点能使AC＋CB距离最短.
利用这种对称原理可以解决很多复杂的问题.
例10 设牧马营地在M，每天牧马人要赶着马先到河边饮水，再到草地吃草，然后回营地.问：怎样的放牧路程最短？
分析与解答 依题意，每一条放牧路线都是一个三角形的三条边，我们设法把这条路线变成两个固定点之间的连线.
根据“对称”原理，设草地的边线是l1，河流的岸线是l2（下图）.令M关于l1、l2的对称点分别是M1、M2连结MM，分别交l1、l2于A、B，则路线M→B→A→M就是最短路线，读者可自己证明其路线最短.
几何中的最大与最小问题很多，待学习一些知识后，将有很多有趣的最大与最小的问题等待你去解决.
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