第Z9卷第6期Z005年1Z月
测井技术
WELL LOGG I NG TEC~NOLOGY
Vol.Z9No.6
D ec Z005
文章编号10041338Z0050605050Z
用M a p le推导单相流体的渗流公式+
周波1!陶果Z
1.黑龙江科技学院黑龙江哈尔滨1500Z7Z.中国石油大学北京10Z Z49
摘要测井的物理过程如电磁场声场渗流场可用偏微分方程描述了解这些微分方程在特定条件的解析公式有助于仪器设计和资料应用以电缆地层测试过程中的地层渗流过程为例利用计算机代数系统M a p l e推导了单相流体在测试过程中压力变化的解析表达式以图形方式展现了在探针半径不同时压力降与
时间的关系
关键词计算机代数系统偏微分方程单相流体渗流公式
中图分类号O Z41.8Z P631.83文献标识码A
D erivati on Anal y tical S ol uti on of t he S i n g le-p hase F l oW i n t he Porous M edi a W it h M a p le
Z~OU Bo1TAO Guo Z
1.~eil on gj i an g S ci ence&T echnol o gy I nstit ut e~aer bi n~eil on gj i an g1500Z7Chi na
Z.Chi na Uni versit y of Petr ol eu m Bei j i n g10Z Z49Chi na
Abstract The p h y si cal p heno m enon of Well l o gg i n g such as el ectr o-m a g neti c fi el d acousti c fi el d and p ercol ati on fi el d can be descri bed i n p arti al diff erenti at e e C uati ons.If We kno W t he cl ose-f or m anal y si s
f or mul a of t he m under t he p arti cul ar conditi ons it i s usef ul f or t he t ool's desi
g n and dat a a pp li cati on.I n
t hi s p a p er M a p l e t he t ool of co m p ut er al g ebrai c s y st e m i s used t o deri vat e t he anal y ti cal sol uti on a-bout t he f or m ati on p ressure i n si n g l e-p hase fl o W duri n g t he W ireli ne f or m ati on t esti n g.Sho Wed i s t he rel ati onshi p bet Ween t he p ressure f all and ti m e i n t he diff erent radi us of t ool's p r obe.
Ke y Words co m p ut er al g ebrai c s y st e m p arti al diff erenti at e e C uati on si n g l e-p hase fl o W p ercol ati on
e C uati on
0引言
M a p le是W aterl oo公司推出的一种计算机代数系统用M a p le不但可以进行简单的加减乘除运算也可以求解代数方程微分方程进行微分运算或处理线性代数问题使用M a p le可以很快得出精确的符号形式的解析解进而求得数值形式的近似解还可以用图形来显示运算结果与传统的手工演算相比便于修改和检查大大提高工作效率
l公式推导
电缆地层测试器的测试过程经过无量纲代换后得到偏微分方程系统以它的解析解推导过程为例说明如何用M a p le推导公式
+基金项目国家高技术研究发展计划海洋资源开发技术领域钻井中途油气层测试技术专题编号Z001AA60Z01704
基本偏微分方程
8Z P
8r Z
+
Z
r
8P
8r
=8P
8t
1边界条件简化为
初始时边界
P r0=0Z 无限远边界
P r-t=03井中探头边界
8P
8r
-8P
8t r=r
s
=14式中P为地层压力t为时间r为测试半径
下面是在M a p le中进行推导的过程
>restart
>P de1=diff P r t r r+Z r+diff P r t r= diff P r t t
>P de Z=P r0=0
>P de3=P r->i nfi n it y t=0
>P de4=diff P r t r-diff P r t t=1
对方程1进行La p lace变换
>W it h(i nttrans>:
>L P de1:=l a P l ace(P de1t S>;
用L P(r>代替l a P l ace[P(r t>t S]
>L P de1＿1=subs l a P l ace[P(r t>t S]}=L P(r> L P de1>;
将边界条件P(r0>=0代入L P de1＿1
>L P de1＿Z=subs[P(r0>=0L P de1＿1];袁珊珊个人资料
求解常微分方程L P de1＿Z
>W it h(ODE tools>:
>O P S=dsol ve(L P de1＿Z L P(r>>;
将上式转化为指数形式
>O P S1=convert(O P S eJ P>;
展开
>O P S Z=eX p and(O P S1>;
合并
>O P S3=collect O P S Z eX p[S g rt(S>+r]}
根据边界条件P(t>=0当r->时第1项应有界因此第1项的系数为0；为简化解的形式将第Z 项的系数改写为C/r分别取得第1~Z项的系数
>a1=coeff rhS(O P S3>eX p[S g rt(S>+r]};
>a Z:=coeff rhS(O P S3>1/eJ P[S g rt(S>+r]};
将第1项代换为0第Z项代换为C/r
>O P S4=subs(a1=0a Z=C/r O P S3>;
通过边界条件确定系数C对边界条件方程4进行La p lace变换
>L P de4=l a P l ace(P de4t S>;
用L P(r>代替l a P l ace[P(r t>t S]
>L P de4＿1=subs l a P l ace[P(r t>t S]}=L P(r> L P de4>;
将初始条件P(r0>=0代入
>L P de4＿Z=subs[P(r0>=0L P de4＿1];
将O P S4代入
>L P de4＿3=subs(O P S4L P de4＿Z>;
化简
>L P de4＿4=si m p lif y(L P de4＿3>;
求解方程L P de4＿4确定系数C
>CS=sol ve(L P de4＿4C>;
边界条件4在r=1处取值将其代入上式
CS1=subs(r=r
s
CS>;
将求得的系数C代入方程O P S4
>O P S5=subs(C=CS1O P S4>
对上式进行La p lace逆变换就可获得偏微分方程的解析解但是上式不能直接进行La p lace逆变换必须对上式进行形式上的变化
>O P S6=si m p lif y(O P S5>;
取上式右端项分母部分并乘以1/(Sr>然后进行
因式分解
>O P S7=deno m(rhS(O P S6>>/S/r/r
s
;
用J代替S g rt(S>
>O P S8=subs[S g rt(S>=J S=J Z O P S7];
>O P S9=sol ve(O P S8J>;
用J
1J Z
代替J的Z个根并将其恢复为分母形式
>O P S10=1/(J-J1>/(J-J Z>;
将其写成部分分式
>O P S11=convert(O P S10P ar f rac J>;
将J=S g rt(S>代入
>O P S1Z=subs(J=S g rt(S>O P S11>;
将O P S6的分子和分母重新组合
>O P S13=nu m er[rhS(O P S6>]+O P S1Z/S/J;
>O P S14=eX p and(O P S13>;
重写上式
O P S15=_r s eX p[S g rt(S>+(r s-r>]/S/r/(J1-J Z>/
[S g rt(S>-J
1
]+r
s+eX p
[S g rt(S>+(r
s-r
>]S/r/(J
1-J Z>/[S g rt(S>-J Z];
对上式进行La p lace逆变换六防
>P(r t>=i nvla p lace(O P S15S t>;
当r=r
s
时获得探头位置的压力解析解
>P(r s t>=subs[J=r s P(J t>];
将J
1J Z
的值代入获得压力解析的完整表达式
>P(r s t>=subs J1=O P S9[1] J Z=O P S9[Z] P(r s t>};
化简得到最终结果
>P(rS t>=si m p lif y[P(rS t>];
P(r s t>=-
1
Z
r[s Z r s(r s-4
\>-e1/4
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s+r s
新鲜陪伴记(r
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利用其绘图功能可以绘制其3D图形得到压力随r
s t 变化的直观表示
上海艺校美女周璇
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图3A 井该方法渗透率计算结果与eX p res s
处理结果对比图
图4B 井该方法渗透率计算结果与Ex p res s 处理结果对比图
%非法定计量单位,
1i n =25.4mm 5结论
<1>用斯通利波在渗透性地层的中心频率偏移和时间延迟能够比较稳定准确地反演地层渗透率 <2>该方法在裂缝性储层和高渗透性地层会有更好的应用效果
<3>利用该方法渗透率计算结果与国外大型工作站软件e X p ress 计算结果对比，结论基本一致 <4>根据该方法基于FOR W ARD 编制了渗透率处理模块，在现场应用中取得了满意效果 参考文献~
[1]黄文新,
历元彬.用反射斯通利波确定地层裂缝宽度和渗透率[J ].江汉石油学院学报,1994,12~26-31.
[2]朱云生,
等.应用低频斯通利波衰减评价地层渗透率[J ].测井技术,1995.19<6>~416-420
[3]T
an g X M.P redicti ve P rocessi n g of A rra y A coustic W ave-f or m D ata [J ].G eo P h $sics ,1997,62~1710-1714.
[4]T
an g X M ,Chen g C ~.F ast Inversi on of For m ati on Per m e-abilit y F ro m S tonele y W ave Lo g s U si n g a S i M p lified B i ot-Rosenbau m M odel [J ].G eo P h $sics ,1996,61~639-645.[5]薛毅.最优化原理与方法[M ].北京~北京工业大学出版社,2003.
[6]陶果，邹辉.现代声波测井资料处理方法研究[J ].石
油勘探与开发,2000,27<2>~143-147.
!收稿日期"2005 09 20本文编辑余迎#
!上接第506页
#
图l 单相流体渗流无量纲压力降p 与r s !t 关系
2结论
由以上示例看出，应用M a p le 推导公式不仅能够得
到其解析表示，而且可以得到函数的图像 本文只是展示了M a p le 在测井中的应用,M a p le 在其它工程领域也有着广阔的应用 参考文献~
[1]洪伟，等.M a p le 6实用教程[M ].北京~国防工业出版社,2001.
[2]孔祥言.高等渗流力学[
M ].北京~中国科学技术大学出版社,1999.
[3]周波，陶果，刁顺.考虑管储效应的电缆地层测试器
近似解析解[J ].测井技术,2003,27<1>~27-29.
!收稿日期"2005 07 12本文编辑高宝善#