银行还贷方式的数学模型
摘要
当今，社会上好多人买房后让房贷压得喘不过气来.想着早上起来就要欠人家银行100块，不但降低了物质生活的标准，而且精神上也是蒙受着巨大的压力.但是，银行还贷方式多种多样，如何根据自己的实际情况，选择合适的贷款还款方式就显得越来越重要了.本文就“等额本息还款”和“等本不等息还款”两种经典的还款方式，建立数学模型进行了分析和比较.
在问题1中，我们分别建立了关于对应还款方式的数学模型，从模型中我们得出“等额本息还款”方式中，每月需还银行固定数额总共需向银行还款为在图1中，可以看出为关于月份的一次递增函数.另一方面“等本不等息还款”方式，其向银行还款时逐月递减的，第个月需向银行还款：，在图2中我们可以了解其大体还款趋势.在图3中，则把两种还款方式的逐月累计向银行还款数目作了比较，容易看出：“等本不等息还款”还款总数是要少于“等额本息还款”方式的.
在问题2中，我们根据实际生活中可能出现工作不稳定的情况，自行设计了一种还款方式，
引进了“向量因子”，使这种还款方式更具灵活性.
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一、问题重述与分析
银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法．有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱．所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清．
问题1：我们对已给的两种还款方式进行建模分析，从每月还款数目和逐月累计向银行还款数目两方面进行了求解并进行了比较，最终给出了两种还款方式的实际向银行还款数目.说明这两种还款方式最终累计还款数额是存在差异的.
问题2：针对房贷还款问题，我们再自行设计了一种还款方案，并建立模型进行了分析.根据不同的处境合理选择不同的还款方式，确实可以带来不少便利.
二、模型假设
2.1 假设在还款期间银行利率不发生变化；
2.2 假设等额本息还款与等本不等息还款的月利率相同；
2.3 假设贷款人在还款期间没有特大的变故；
2.4 假设还款期间不会出现金融危机.
三、符号说明
：等额本息贷款总额；
：等额本息银行月利率；
：等额本息还款期数；
小舍得演员表介绍：等额本息月还款额.
为方便阅读，我们将部分符号在第一次出现时进行说明.
四、汽车踏板模型建立与求解
4.1问题1 等额本息还款法与等本不等息还款法的比较分析
4.1.1 等额本息还款简单介绍
等额本息还款法，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清.由于每月的还款额相等，因此，在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少；而在贷款后期因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所还的贷款本金就较多. 这种还款方式，实际占用银行贷款的数量更多、占用的时间更长，同时它还便于借款人合理安排每月的生活和进行理财（如以租养房等），对于精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说，无疑是最好的选择.
4.1.2 等额本息还款模型的建立
设贷款总额为，银行月利率为，总期数为（个月），月还款额设为，
则各个月所欠银行贷款为：
第一个月：
第二个月：
第三个月：
由此可得第n个月后所欠银行贷款为：
由于还款总期数为，也即第月刚好还完银行所有贷款，因此有：
由此求得：
则个月总共向银行还款为：
图1 等额本息还款
卤肉的做法4.1.3 等本不等息还款法的简单介绍
即借款人每月按相等的金额（贷款金额/贷款月数）偿还贷款本金，每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，两者合计即为每月的还款额.
这种还款方式相对等额本息而言，总的利息支出较低，但是前期支付的本金和利息较多，还款负担逐月递减.等本不等息还款法是一种计算非常简便，实用性很强的一种还款方式.基本算法原理是在还款期内按期等额归还贷款本金，并同时还清当期未归还的本金所产生的利息.方式可以是按月还款和按季还款拍一拍怎么拍.
4.1.4 等本不等息还款法模型的建立
设贷款总额为，银行月利率为，总期数为（个月），个月累计向银行还款为，则各月需还银行贷款为：
第一个月：
第二个月：
第三个月：
第个月：
第个月：
则由以上各式求和，可得：
图2 等本不等息还款各月份还款数额
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