注：本⽂部分内容源⾃⼀位论坛⼤神，但具体的来源很抱歉笔者已经忘记，如侵即删。
⽂章⽬录
0 前⾔
近年来，游戏⾏业飞速发展，⼤量不同类型的游戏涌⼊各个平台映⼊⼤众眼帘，⽽对于竞技类游戏⽽⾔，其游戏平衡的关键是如何使博弈的双⽅玩家游戏⽔平接近，势均⼒敌的对⼿更能给予玩家紧张刺激的游戏快感。
传统的排位算法有⼏种，如 ELO 算法、ATP 排名等等，⽬前传统的排位算法为国际象棋中的排位算法-国际等积分系统(ELO-rate-system)， 即 ELO 算法，该名字命名于创作者埃洛教授⾃⾝。即使已经过去多年，ELO 算法还是作为基本的思想，⼴泛应⽤在了不同种类的竞技游戏中，如MOBA 游戏《英雄联盟》、《DOTA2》等等。除此之外，许多体育竞技项⽬也依旧基于该算法进⾏排位。
1 ⼀般胜率预测算法
对于⼀场竞技⽐赛，参赛选⼿分别为甲与⼄，作下列假设：
1.两名选⼿表现实⼒有所波动，服从⼀定分布，设为 与 。
2.两名选⼿的表现实⼒相互独⽴。
3. 与 对应的密度函数为 ( )与ℎ( )，密度函数为 ( )与 ( )。
韵达快递价格查询根据上述假设，可以得到胜率概率计算公式 { > }，即：
同理有
以上是⼀般的胜率预测算法，通常情况下直接求解⽐较困难，因为⽐赛选⼿的表现实⼒所服从的分布需要⼤量数据⽀撑，为了简化计算，可以做出⼀些相关的特殊假设并加以实验。
2 添加特殊假设后的胜率预测算法
对⼀般的胜率算法，可以在原有基础上新增如下假设，化简运算：
1.⽐赛双⽅甲与⼄的表现实⼒均服从同⼀分布 ，且只由期望 与⽅差 决定。
2.设分布函数为 ( ; , )，密度函数为 ( ; , )，且密度函数关于 = 对称。
3.设密度函数满⾜
则分布函数满⾜
通过新增的假设，可再次得到胜率计算公式如下
通过相关线性变换以及旋转和边际分布的意义，可以化简为
3 基于不同分布的胜率预测算法
由2所得的最终胜率预测算法，可基于不同分布进⾏运算。根据数据统计，埃洛教授起初使⽤了正态分布作为⽐赛选⼿表现实⼒的分布。此时可以得到基于正态分布的胜率预测算法如下：
然⽽，使⽤正态分布假设的效果并不佳，根据⼤量研究数据发现在国际象棋⽐赛中，Logistic 分布更贴近实际情况，因此使⽤了 Logistic 分布函数进⾏假设。
代⼊后化简得到基于 Logistic 分布的胜率预测算法如下：
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4 最终的ELO算法
经过埃洛教授经验上的修改与简化，得到了最后的 ELO 算法。
假设某场景中，玩家 A与玩家 B 进⾏⼀场竞技⽐赛，玩家 A 当前的排位分（即量化的实⼒⽔平）为 ，玩家 B 当前的排位分为
谁是mvp，则玩家 A 的胜率预估由下式可得，玩家 B同理可得不做描述。
其中， 为双⽅的分值间隔，对于相同的玩家⽔平差距，T 越⼤，则预估胜率越接近50%，在专业国际象棋赛事中，T 通常采⽤ 400，在⽐赛结束后，可以设 和 为玩家的⽐赛得分，如下：
则⽐赛结束时玩家的排位分更新规则如下：
以上便是⽤于国际象棋⽐赛的 ELO 算法基本内容，所形成的排位分即 ELO 积分，其
始终处于动态的变化中，但随着玩家的⽐赛场次增加会逐渐收敛⾄与玩家实际⽔平的范
围内，但该算法应⽤于不同场合还需要根据实际情况进⾏相应的改进。
5 相关改进
5.1 从1v1到NvN
本⽂在4中已诠释了 ELO 算法在 1v1 时的使⽤⽅式，但是随着⽹络游戏的发展，如今⼤部分游戏特别是 MOBA 类游戏基本模式均为友⽅N ⼈与敌⽅ N 个⼈的 NvN 类型。
所以我们需要将 ELO 算法中的评分机制扩展⾄ N 个⼈的模式。
如4中所说 ELO 算法中最重要的部分是对实⼒的处理，若为 1v1 模式我们可简单采取此⼈的分数作为 。但是涉及到 N ⼈时，我们
需采取某种⽅式来评估整个队伍的实⼒，从⽽可以得出某⼀⽅获胜的概率。所以可以⾃然的想到利⽤某队的实⼒分数的均值作为该队的实⼒。
即： 设 1 号队伍有五⼈ , ∈ {1,2,3,4,5},2 号五⼈ , ∈ {1,2,3,4,5}
更新规则：
但若我们使⽤该种⽅法进⾏NvN的分数计算，该⽅法会解决不了⾼分选⼿特意与低分选⼿共同游戏来增加分值。因为这种做法会使⾼分选⼿较为轻松涨分。所以在该⽅法中的改进为对同⼀队中的某⼀选⼿，会根据其原始分值来调整 K 的取值，使⾼分玩家涨分幅度低于同⼀局中低分玩家的涨分幅度，以提⾼收敛速度，使游戏平衡性提⾼。
5.2 收敛速度的改进
不管是 1v1 模式还是 NvN 模式下的 ELO 评分机制，最终某位玩家的分值将会固定在
其真实实⼒所代表的分值的附近，并有所波动。整个的 ELO 评分系统即是将分数收敛⾄
该真实⽔平的过程。为了使得玩家体验上升，需保证游戏中的平衡，能够快速将每
中秋节放几天假个玩家的实⼒分数固定到其应有的⽔平范围内(即提⾼收敛速度)具有重要意义。否则玩家
双⽅会因实⼒差距过⼤⽽影响弱势玩家的游戏体验。除此之外，收敛速度越快越可有效
防⽌⾼分玩家假装为低分玩家上分、或是代练等不良⾏为。
定级赛机制
在英雄联盟,DOTA2 等游戏中会在玩家加⼊正式排位赛程的前 10 局⽐赛（即定级赛）中采取较⼤的 K 值。这种做法可以使得在该 10 局⽐赛中的排位分波动较⼤，使得玩家可以⼤致收敛⾄包含⾃⼰的⽔平的⼀个⼤区间中。然后再通过之后正式的对局，将分数收敛⾄真实⽔平。该⽅法将之后排位赛的收敛半径(即从某个值开始收敛⾄⾃⼰真实⽔平的范围)缩⼩，因此可以有效提升收敛的速度。
在初始和之后的 K 值的选取会影响收敛的速度，我们可以通过不断的模态的模拟 K 的取值，通过观察收敛速度来选取合适的 K。在开始时设置较⾼的 K值可以更快地将玩家定位置符合⾃⼰实⼒的段位，⽽后降低 K 值则可以使玩家进⼀步细化定位。该法可以在初期⼤幅度提升ELO 算法的收敛速度。
如在英雄联盟 S1-S3 的排位赛中初始 K 值较⾼为 100，后续将会逐步降⾄ 25。除此之外，各类游戏
中也常以分段的⽅式进⾏ K 值的划分，低段位的 K 值通常设置较⾼，⽽⾼段位 K 值通常设置较低，⽬的是为了便于低段位选⼿更快地提⾼排位分，⽽⾼段位选⼿则通过降低K 值保证游戏的稳定性。
连胜奖励机制
引⼊连胜奖励机制，较多的⾼级玩家喜欢开⼩号虐菜或是进⾏代练上分，若引⼊连胜阈值与连胜奖励，也可以在⼀定程度上提⾼ ELO 算法的收敛速度。
连胜奖励定义：当某位选⼿的连胜场数 ′超过⼀个固定值如 = 4，则该选⼿后续获胜时排位分均会额外增加 分，失败则清除连
胜场数。
其中 与 值的设定还需要根据游戏的数据反映情况以及游戏需求⽽定。
段位继承机制范湉湉 功夫
每赛季开始将会有段位衰减，⽽段位继承机制也可加速玩家排位分的收敛过程。系统通常保留了玩家上赛季的数据，可基于这些数据得知玩家的⼤致⽔平，从⽽能够较为准确的给定⼀个 K 值，该⽅法同样能使 ELO 算法的收敛速度得到⼀定提升。
该⽅法还能提⾼游戏性，效果表现如下：
巩俐的胸1.玩家重返低分段，给予了玩家提⾼的机会与动⼒，提⾼游戏留存。
2.即使排位分按⼀定⽐例衰减，但由于玩家实⼒依在与较⾼的 K 值设定依旧会稳定回到真实排位分，对 ELO 系统的稳定性影响较⼩。5.2 匹配策略改进
即使有了改进后的ELO算法作为匹配机制的基础，但在同⼀时间段，能完美到契合同⽔平的对⼿与队友是⼀件困难的事情，因此改进匹配时的机制也有利于游戏平衡的实现，基于各类游戏的体验评测与官⽅通告，主要的匹配策略⼤致围绕分差、时间以及其他附加因素。⽅法⼤致如下：
增加位置匹配系统
在某些竞技游戏中，每位玩家在团队中通常担任不同的游戏⾓⾊，因此可以在匹配开始之前提前提供玩家位置选择机会，通常玩家所玩擅长的位置实⼒会较于其基础的排位分更⾼，因此该策略下双⽅团队的实际分差阈值在⼀定⽔平上会有所缩⼩，但该法会导致匹配时间的延长。
根据数据分析进⾏调节匹配
对于某些游戏玩家体量较⼤的游戏，如王者荣耀等，则会有专门的数据分析专员帮助分类预流失玩家、回流玩家、⾼活跃玩家，根据玩家的分类结果可以对这些玩家匹配规则上进⾏⼀定的改动，如预流失玩家则给予其 ELO 分更低的对⼿，提⾼其胜利概率，增加游戏体验，回流玩家统⼀给予其 ELO 分较低的对⼿，以挽留该玩家，⾼活跃玩家则给予其 ELO 分较低的队友和 ELO 较⾼的对⼿，作为他⼈体验的牺牲品，同时激起求胜欲。
6 优缺点
6.1 优点
1.有效衡量玩家的⽔平。ELO 所产⽣的分数直观的量化了玩家的⽔平。
2.缩短了匹配时间与创造⾼质量对局。因为匹配机制中会利⽤ ELO 积分相近的玩家进⾏匹配，所以会使得实⼒相近的玩家进⾏博弈，从⽽⼤⼤增加⽐赛的质量。
3.激励玩家进⾏竞争。积分与排名可以激发玩家的竞争⼼态，促使玩家提升实⼒，并最终为游戏的⽣态环境带来积极的影响。
4.ELO 算法为零和算法，即玩家总体分数不变，⾼分玩家的分数通常来⾃低分玩家。这使得玩家分数准确，⾼分低能的玩家较少。
6.2 缺点
1.ELO 算法初期的具有不准确性。ELO 算法在初始时，拥有较少的玩家信息，初始分数往往与真实⽔平偏差较⼤。所以需要⼤量数据才能收敛⾄真实⽔平，在该过程中玩家的体验可能会较差，因此提⾼收敛速度是改进 ELO 算法的关键。
2.ELO 算法对时间具有不敏感性，ELO 积分并不会随着时间的变化⽽变化。但在现实中某玩家若长时间没有⽐赛时，他的实⼒⽔平可能会上下浮动较多。此时 ELO 所产⽣的排位分可能⽆法反映玩家的真实⽔平，但通常游戏会根据其流失时间对 ELO 分进⾏衰减措施，以保证其回归时他⼈玩家的游戏体验。
3.ELO 算法对⽐赛⽆差异性。该缺点每⼀场⽐赛都视为同等重要的，但现实中往往⽐赛会有重要程度的区分的。但 ELO 算法⽆法在重要⽐赛中给予更多的权重。
4.由于 ELO 算法的零和效应，玩家达到⾃⼰⽔平的分数后难以通过努⼒提⾼分数，因此低⽔平玩家分数会维持在低分段，成就感低容易流失。此时可以根据玩家的⾏为增加⼀些附加分，以达到⾮零和效果。
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