2005年研究生期末试题(120分钟)
《图论及其应用》
一、填空(15分，每空1分)
王自健散打冠军老婆1、已知图G有10条边，4个度数为3的顶点，其余顶点的度数均小于2，则G中至少有个顶点 .
2、m条边的简单图G中所有不同的生成子图(包括G和空图)的个数为
3、4个顶点的非同构的简单图有个.
4、图G1的最小生成树各边权值之和为
5、若W是图G中一条包含所有边的闭通道，则W在这样的闭通道中具有最短长度的充要条件是：
(1)每一条边最多重复经过次；
(2)在G的每一个圈上，重复经过的边的数目不超过圈的长度的
6、5阶度极大非哈密尔顿图族有.
7、在图G2 中，图的度序列为(44443322)，频序列为(422)，独立数为3，
团数为4，点数为4，边数为4，直径为3.
二、选择(15分)
(1)下列序列中，能成为某简单图的度序列的是( C )
(A) (54221)  (B) (6654332)    (C) (332222)
（2）已知图G有13条边，2个5度顶点，4个3度顶点，其余顶点的的度数为2，则图G有( A )个2度点。
  (A)  2        ( B)  4      (C )  8
(3) 图G如(a)所示，与G同构的图是( C )
(4) 下列图中为欧拉图的是( B ),为H图的是( AB ),为偶图的是( BC ).
5．下列图中可1-因子分解的是( B )
三、设和分别是图G的最大度与最小度，求证：(10分).
证明：
四、正整数序列是一棵树的度序列的充分必要条件是 (10分).
证明： 结论显然
    设正整数序列满足，易知它是度序列。设G是这个度序列的图族中连通分支最少的一个图，知m=.
假设G不连通，则，且至少有一个分支含有圈C，否则，G是森林，有m=矛盾！从C中任意取出一条边。并在另一分支
中任意取出一条边，作图
则的度序列仍然为且，这与G的选取矛盾！所以
G是连通的，G是树。即一棵树的度序列。
五、求证：在简单连通平面图G中，至少存在一个度数小于或等于5的顶点 (10分).
证明：若不然，这与G是简单连通平面图矛盾。
六、证明：(1) 若G恰有两个奇度点u与v，则u与v必连通；
(2) 一棵树至多只有一个完美匹配 (10分).
证明；(1) 因为任意一个图的奇度点个数必然为偶数个，若G恰有两个奇度点u与v，且它们不连通，那么就会得出一个连通图只有一个奇度点的矛盾结论。所以若G恰有两个奇度点u与v，则u与v必连通。
(2) 若树有两个相异的完美匹配，则且中的每个顶点的度数为2，则中包含圈，这与是数矛盾！
七、求图G的多项式(15分).
解：图G的补图如图，则
，其中，，
，；
，其中，天宫加点，
。
八、求图G中a到b的最短路(15分).
解 1. A1= {a}，t(a) = 0，T1 = Φ
2.
3. m1 = 1, a2 = v3 , t(v3) = t大年初五祝福语(a) + l(av3) = 1 (最小)，
T2 ={av3}
2. A2 ={a, v3},
3. m2 = 1, a3 = v1 , t(v1) = t(a) + l(av1) = 2 (最小)，
T3 ={av3, av1}
2. A3 ={a, v3, v1},
3. m3 = 3, a4 = v4 , t(v4) = t(v1) + lqq解冻(v1v4) = 3 (最小)，
T4 ={av3, av1, v1v4}
2. A4 = {a, v学生剪什么发型好看3, v1, v4}，b1(4)  = v2，b2(4)  = v2，b3(4)  = v2, b4(4)  = v5
3. m4 = 4, a5 = v5 , t(v5) = t(v4) + l(v4v5) = 6 (最小)，
T5 曾江个人资料={av3, av1, v1v4, v4v5}