第七讲 函数的概念、正比例函数
函数的概念
一、知识点
1.变量与常量
在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量.
2.函数的定义
3.函数的定义域与函数值
函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域.
如果是的函数，那么对于在定义域内取定的一个值，变量的对应值叫做当时的函数值.
符号“”表示是的函数，表示随变化而变化的规律.
二、例题讲解
例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：，其中，表示质量，表示重力，牛/千克，物体所受的重力是不是它的质量的函数？
解：物体所受的重力随它的质量的变化而变化，由可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力是它的质量的函数.
例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程（千米）关于时间（时）的函数解析式及定义域.
分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为.
解：函数解析式为，定义域为.
例3 求下列函数的定义域：
（1）; （2）； （3）.
解：（1）对于整式，无论取什么实数，它都有意义，所以函数的定义域是一切实数；
（2）对于分式，当时，它没有意义.所以函数的定义域是；
（3）对于二次根式，当时，它有意义，所以函数的定义 域是.
说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考.
例4 已知，求的值.
分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求的值，就是当时，求的值，只需要把代入后计算即可.
解：
例5 等腰三角形的周长等于20cm，请写出这个等腰三角形的底边长和腰长之间的解析式.
分析 根据周长的定义，得，整理得，
即 .函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.
答案：
说明：1. 变量是不是变量的函数？
解： 对于代数式，给定的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以与有着确定的依赖关系，可以把变量看做.由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量和，如果在的允许取值范围内，变量随着的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的
2. 对于“”中的“我的启蒙袁老师”怎样理解？
答：记号“”表示“是的函数”，这个记号比较抽象，“”并不是表示一个变量，也不是表示“”与“”的积，而是指明在变化过程中的自变量为，用表示变量随着的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如等，以免引起混乱.
三、 巩固练习
1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？
（1）正方形的周长与它的边长；
（2）银行一年定期存款的本金元与利息元；
（3）等腰三角形顶角的度数与底角的度数；
（4）长方形的宽一定时，其长与面积；模拟人生3mod冲突
（5）等腰三角形的底边长与面积；
（6）关系式中的与.
答案：（1）变量是周长C与边长，是函数关系；（2）变量是本金元与利息元，是函数关系；
（3）变量是顶角的度数与底角的度数，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系；
（5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是与，不是函数关系.
2. 写出下列个函数的定义域；
（1）； （2）；
答案： 一切实数 答案：王者荣耀情侣名字
（3）； （4）；
答案：一切实数 答案：
（5） ； （6）
答案： 答案：
3. 新春祝福语大全简短在中，它的底边长是，底边上的高是小幸运歌词，则三角形面积，当为定长时，在此式子中（ A ）.
A. 是变量，是常量 B. 是变量，是常量
C. 是变量，是常量 D. 是变量，是常量
4. 下列函数中，自变量的取值范围是的是（ D ）.
A. B. C. D.
5. 如果，那么_______.
6. 已知，则_______,_________.
7. 若，则用的代数式表示为______.
8. 设某种电报收费标准是每个字元，写出电报费（元）与字数兄弟啊想你啦什么歌（个）之间的函数关系式，并求自变量的取值范围.
答案：
提高题
1. 若函数，则与函数值对应的的值是（ D ）.
A. 或 B. 或 C. 且 D.
2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积（立方厘米）关于自变量（厘米）的函数解析式为____,定义域为__.
3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量（升）与时间（分）之间关系的图像大致是（ C ）
A. B. c. D.
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