什么是三角形？
由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形
例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
证明：做BC的延长线至点D，过点C作AB的平行线至点E
∵AB∥CE（已知）知足常乐剧情介绍
∴∠ABC=∠ECD(两直线平行，同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行，内错角相等)
∵∠BCD=180°
∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质）
∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）
三角形是几何图案的基本图形，几边形都是由三角形组成的。
两直线平行，同旁内角互补。
三角形的内角和
三角形的内角和为180度；三角形的一个外角等于另外两个内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《优因培：走进三角形》
（1）如何证明三角形的内角和
方法1：将三角形的三个角撕下来拼在一起，求出内角和为180°
方法2：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为180°
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三角形分类
(1)按角度分
a.锐角三角形：三个角都小于90度 。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
b.直角三角形（简称Rt 三角形）：
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；
⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）；
c.钝角三角形：有一个角大于90度(锐角三角形，钝角三角形统称斜三角形)。
d.证明全等时可用HL方法
（2）按角分
a.锐角三角形：三个角都小于90度。
b.直角三角形：有一个角等于90度。
c.钝角三角形：有一个角大于90度。
肖战事件始末 （锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形）高晓松吐槽权游
（3）按边分
不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
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解直角三角形：
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）
a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5,12,13;10,24,26；等等.
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解斜三角形
在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有
（1）正弦定理
a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r)
（2）余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
（3）余弦定理变形公式
cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC
cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
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三角形的性质
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形最少有2个锐角。
7.三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
8.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系（a^2+b^2=c^2。）
那么这个三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是360°。
11.等底等高的三角形面积相等。
12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。
15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
16.全等三角形对应边相等，对应角相等。
17.三角形的中心在三条中线的交点上。
18在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
（包括等边三角形）
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三角形的五心、四圆、三点、一线
三角形的五心四圆三点一线
这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心（barycenter）、垂心、内心(incenter)、外心(circumcenter)和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。
以下记三角形的三个顶点为A、B、C，相应的对边边长为a、b、c，系数K(a) = -a^2+b^2+c^2，K(b)、K(c)类推。三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换为面积坐标，以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法：记某点面积坐标为(μa, μb, μc)，三分量之和为μ，则有Px = (μa·Xa + μb·Xb + μc·Xc) / μ，Py类推。
五心
名称 定义 三
线坐标
(内心坐标) 面积坐标
(重心坐标)
重心 三条中线(顶点到对边中点连线)的交点 1/a : 1/b : 1/c 1 : 1 : 1
垂心 三条高(顶点到对边的垂线)的交点 sec A : sec B : sec C 1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或
tan(A) : tan(B) : tan(C)
内心 三条内角平分线的交点 1 : 1 : 1 a : b : c
外心 三边中垂线的交点 cos A : cos B : cos C a^2·K(a) : b^2·K(b) : c^2·K(c)
旁心 一内角平分线和另两角外角平分线的交点 -1 : 1 : 1，余类推 -a : b : c ，余类推
四圆
内切圆：以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三边都相切。
外接圆：以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三个顶点都在圆周上。
旁切圆：以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一边及另两边延长线相切。
欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆。九点圆圆心为垂心与外心连线中点，三线坐标为：cos(B - C) : cos(C - A) : cos(A - B)，半径为外接圆半径的一半。内切圆与欧拉圆在某一欧拉点相切。
三点
名称 定义 三线坐标
勒莫恩点 三个顶点与内切圆切点连线的交点，又称类似重心 a : b : c
奈格尔点 三个顶点与旁切圆切点连线的交点，又称界心 csc^2(A/2) : csc^2(B/2) : csc^2(C/2)
欧拉点 三个顶点到垂心连线的中点，又称费尔巴哈点 (暂缺)
一线
垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线，这条直线称为欧拉线。
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三角形为什么具有稳定性
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接
∵第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角固定
∵这两条边是任取的
∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
∴三角形有稳定性
任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
∴两端点距离不固定
∴这两边夹角不固定
∴n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性
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三角形的边角之间的关系
（1）三角形三内角和等于180°（在球面上，三角形内角之和大于180°）；
范冰冰美杜莎发型 （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
（注①：等腰三角形中，顶角平分线，中线，高三线互相重叠
②：三角形的中位线是两
边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半)
（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.
（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
（12）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。边伯贤被打
注意: ①三角形的内心、重心都在三角形的内部
. ②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）
④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，的一则应用！
《周长固定三角形面积的最大值》
——数学建模一例
谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？
首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。
好了，现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。而且我们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a + b)。
有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a＞0）。现在，把b=L/2-a 代入s=a*b就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a＞0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1＜0，函数s有最大值。
微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a＞0），所以s｀=-2a+L/2 （a＞0）令s｀=0有：2a= L/2 所以a= L/4。
所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形)
也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去“=”，s有最大值
因为
： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。
现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？
好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有个推论：三角形两边之差小于第三边。
不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x 。根据三边关系定理有：x<L-x，于是有：(0<x<L/2) 物理学中在处理问题时，不是常用控制变量法吗！我们何不使用呢？假设x为一个常量，则L-x 也为常量。且x<L-x 总成立，满足解析几何中椭圆的定义：2a= L-x， 2c=x，且有：2a>2c。可以，以2c=x的中点建立坐标系，则：a^2= (L-x/2)^2 ，b^2= (L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/ 。
三角形与椭圆
[1]所以椭圆方程为：X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1
函数图像的直观反映
[2]，三角形的面积为：s=(1/2)*( 2c)*Y ，因为，x=2c是固定的，所以s取决于Y，当Y取max时，即Y=b时，s有最大值。
即：S=s(x)max （且此时，该三角形为等要三角形）
=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2
=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0<x<L/2)
现在，我们得到了一个关于s最大值的函数，或者说以最大值s为自变量的函数S=s(x)，可以说我们的目标是，函数最大值的最大值！Smax=max[s(x)max]，剩下的就是微积分的技巧了，对S=s(x)max，求导：S｀= -LX/(L^2-2Lx)^1/2 +(L^2-2Lx)^1/2 令S｀=0 有：LX/(L^2-2Lx)^1/2 =(L^2-2Lx)^1/2 ，则LX= L^2-2Lx 解之得：x=L/3，且有，x=L/3<L/2 满足三角形条件。
此时的三角形是一个正三角形！Smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*L^2/36，此模型的思想有点类似变分法，函数的函数（泛函），但还是有本质的差别。
也可以用海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，其中p=(a+b+c)/2 。用不等式来解决！或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法，来解解决也行。
不要以为，海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微积分简单一些，前提是你必须知道这个公式，而且能够证明！我就给大家一个证明，这是我在分解因式中，遇到较麻烦的一次！
要证明海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，首先，要知道余弦定理：
勾股定理的扩展——余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bccosA，
则有：cosA=（ b^2+c^2- a^2）/2bc
所以，sinA={1-[（ b^2+c^2- a^2）/2bc]^2}^1/2
={[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2
又因为，三角形面积公式：
s=(1/2)*bcsinA
=(1/2)*bc*{[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2
=(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2 (与角度A并无直接关系)
又 ∵ [( a^2+b^2+c^2)
^2 – 2( a^4+b^4+c^4)
=2a^b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4
=b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4
= b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 (配方)
=c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4
= c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+ c^2(b+a)^2-c^4
= c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2 （分解因式）
= c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2]
= [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] （提公因式）
=-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2]
=[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2]
=[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c)
=[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b)
=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)
∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2
=[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2
={[(a+b+c)/2 ]*[(a+b+c)/2- c]*[ (b+c+a)/2 –b]*[ (a+c+b)/2-a] }^1/2
在令： p=(a+b+c)/2
就得到海伦公式：s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2
有了此公式，在利用不等式，问题就可以解决了。
需要知道的一个不等式：(a+b+c)^3 /27≥abc (a，b，c均为正数，当a=b=c时，取“=”)
∵ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3 /27，又∵2p=a+b+c；
∴ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3 /27
则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2
所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2
即：s≤(3^1/2 /36) p2，当p-a=p-b=p-c，即，a=b=c时，取“=”s有最大值(3^1/2 /36) L^2
（2006全国卷l理科第11题）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：㎝）的5根细棒围成一个三角形（允许连接，但不许折断），能够得到的三角形的最大面积是…… （ B ）
A 8*5^1/2 B 6*10^1/2 C 3*55^1/2 D 20俞承浩图片
分析：首先，这几个整数成等差数列，公差为1，它们的和为20。现在，要把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形，最后出这些三角形中面积最大的一个。
如果，真的去分组，在统计比较，时间上显然不够！这个时候就需要你会建立，数学模型了，并且能够转化数学。把离散组合，转化为连续的数学。
数学家在研究问题时，往往关注一些变中不变的东西，那往往是大规律、大道理，不以人的意志为之转移，带有根本性的。把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形。无论怎么变化，有一条是不变的：它们的和为20；于是要解决的问题就是：当三角形周长固定时：什么样的三角形面积才是最大的？
上面研究过，正三角形的面积最大，并且由
S=s(x)max （且此时，该三角形为等腰三角形）
=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0<x<L/2)
的函数图像可知，x在区间[0，L/3]]为增函数，在（L/3，L/2] 为减函数。所以，当三角形周长固定时：越接近正三角形形状的三角形面积越大！20/3≈6.6667，显然这里的5个数是组合不成6.6667的，
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