时钟问题解法与算法公式
时钟问题的关键点：
分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。
请看例题：
【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【解析】
时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：
根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。
【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为
A．10点15分
B．10点19分
C．10点20分
D．10点25分
【解法1】
时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以答
案为A。
【解法2】常规方法
设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为2023年春节几月几号星期几0．5（Ｘ—3）+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。
著名数学难题：时钟的时针和分针
由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们的解法。
例1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？
解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，
出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：
12x－x=60m，其中m=1，2，…．
度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟。所以，12点以后出现第
出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们
如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。
例2 已知：挂钟比标准时间每小时慢2分钟；台钟比挂钟每小时快2分钟，闹钟比台钟每小时慢2分钟，手表比闹钟每小时要快2分钟。试问：手表走时是否标准，若不标准时，判断是快还是慢，快多少或慢多少？为什么？
解：(1)标准时间走60分钟时，挂钟时间走58分。
(2)因为台钟比挂钟每小时快2分钟，所以挂钟走60分钟时，台钟走62分钟。设当标准时间走60分时，即挂钟走58分，台钟走x1分钟，则
(3)因为闹钟比台钟每小时慢2分钟，所以台钟走60分钟时，闹钟走58分钟。设当标准时间走60分，台钟走x1分时，闹钟走x2分，则
(4)因为手表比闹钟每小时快2分钟，所以闹钟走60分钟时，手表走62分钟。设当标准时间走60分时，闹钟走x2分，手表走x3分，则
答：手表走时不准，走慢了，每小时慢0.133分，即大约慢8秒。
例3 一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？
解：设在钟盘面上时针转过x格后，它与分针重叠，这时分针转动了(45＋x)分，由于分针转动的速度是时针的12倍，所以有方程
例4 时钟的分针和时针在24小时中，形成过多少次直角？
解：因为时针1小时转动30°，所以1分钟转动0.5°，分针每分钟转动6°．
设x分钟后，时针与分针成直角，则有方程
x(6°－0.5°)=90°．
针24小时会有多少次差90°的倍数呢？设有n次，则
由此解得n=88．
在这88次中，时针与分针所成角度分别为90°，180°，270°，360°，其中180°，360°不合要求，因此总共有44次直角。
(注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)
例5 时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？
蒋友柏的老婆 直线上。
也可这样解：
设经x分钟后两针在一直线上，这时分针转动了x分的刻度，而时
例6 在早上不到6点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3分钟就重合了，问此时是什么时间？
解：设此时是5时x分，在手表面上，因为分针1分钟转动6°，时针1小时转动30°，则1分钟转动0.5°，时针从0点到5点x分转动了(150＋0.5x)度，分针从0分到x分转动了6x度。因为此时分针还差3分钟与时针重合，即还差李耐阅照片3×6°=18°，所以有方程150＋0.5x－6x=18．
解之，得x=24．
所以，此时为5时24分。
下面是关于时钟的一个更精彩的算题。
我们知道爱因斯坦是一位伟大的物理学家，他是相对论的奠基人，他的科学成就使人类跨越了一个时空。有一次爱因斯坦卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他的朋友出了一个问题让他思考。
设想钟表的位置在12点整，这时把长短针对调一下，它们的位置还是合理的。但是，在6点整时，如果把长短针对调，就成了一个笑话，因为这时短针正指在12，而长针正指在6，这种情况不可能发生。那么，钟表的长短针在什么位置，它们对调后能使得在新的位置上所指的仍是实际上可能的时间？
爱因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多时间。说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花的时间比你们听这个故事的时间还短。
问题是怎样解决的呢？
第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。这种情况在例1雷军十周年演讲中已经解决，总共在钟面上有11个位置。
除此以外还有没有其他可能呢？
设时钟走了x个刻度，分针走了y个刻度，仿照例1有方程
当两针对调后，就变成时针走了y个刻度，分针走了x个刻度。如果设分针已在此之前走了n圈，又可得方程
把m，n看成已知数解这个方程组，得
由0≤x，y≤60，m，n为正整数，可知m，n只能取从0到11，总共有144组解。其中当m=0，n=0与m=11，n=11时，两针都是在12这个位置, 当m=n时，就是第一类情况中的11个重合的位置。当m≠n时，可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置。
对一个卧病之人，爱因斯坦的思维仍这样敏捷，不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。
行测试题精选解答：时钟问题常见种类与解法
1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？
分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。
解： （5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）
答：2点10分时，两针重合。
2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？
分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向今年端午节是几月几日20224，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）小格。
解： （5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）
答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。
3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？
分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。
解： （5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）
或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）
答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。
4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？
分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：
第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）
即12点32分。
第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）
即 1点38分。
第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－ ）＝40÷＝43（分）
即 2点43分。
如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）
如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。
5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？
分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的＝
。
2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5刘若英的电影×（17－12）＝27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。
3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27÷。
解： 5×（17－12） ＝27 （分） 27÷＝30（分）
答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。
解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。
例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?
5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。
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