第8课时  正多边形和圆
【教学目标】
1．了解正多边形的中心、中心角、边心距、半径等概念；
2．理解正多边形和圆的关系；
3．能够进行正多边形的有关计算．
【知识要点】
1．                    的多边形叫正多边形．
2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的          ，            叫做正多边形的半径，        叫做正多边形的半径，中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的          ．
3．正n边形的中心角度数为        ，每一个内角度数为          ．
4．正n边形的边长为a，边心距为r，则其面积为        ．
【探究新知】
例1．（正多边形的证明）如图，△ACD是⊙O的等腰三角形，顶角∠CAD＝36°，弦CE、DB分别平分∠ACD、∠ADC．
求证：五边形ABCDE为正五边形．
【练习】如图，＝＝＝＝＝，试证明六边形ABCDEF是⊙O七夕节是哪天的内接正六边形．
例2．（正多边形的计算）圆的内接正六边形的边长为4．
⑴求此正六边形的半径、边心距；
⑵求同圆中内接正四边形、正三角形的周长．
【练习】如图，八边形ABCDEFGH是正八边形，其外接圆的半径为，求正八边形的面积．
【课堂练习】
1． 下列命题中，假命题的是(  )
A．各边相等的圆内接多边形是正多边形；
B．正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心；
C．正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心；
D．一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形．
2． 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3，S4，S6的大小关系是（  ）
A．S3＞S4＞S6        B．S6＞S4＞S3        C．S6＞S3＞S4        D．S4＞S6＞S3
3． 同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是(  )
A.1:            B.赵本山赌博1:                C.1:2                D.:1
4． 已知⊙O的半径为6㎝，则：
它的内接正三角形的边心距为      ㎝，边长为      ㎝．
它的外切正三角形的半径为      ㎝，边长为      ㎝．
它的外切正六边形的半径为      ㎝，边长为      ㎝．
5． 正    边形的中心角等于18°，正十边形的一个内角等于它的中心角的    倍．
6． 任何一个正多边形都有一个      圆和      圆，这两个圆是    圆．
7． 已知一个正n边形的边心距为4㎝，周长为27㎝．求这个正n边形的面积．
8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E、F分别为DA、DC的中点，过点E、F作弦的MN，若⊙O的半径为12．⑴求MN的长；⑵连接OM、ON，求圆心角∠MON的度数
9．已知：如图，△OAB为正三角形，以O为圆心，OA为半径的⊙O，直径FC∥AB，AO、BO的延长线交⊙O于D家长给老师的感谢信、E．求证：六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
【每课一测】
（完成时间：45分钟，满分：100分）
一、选择题（每题5分，共25分）
1． （2009年义乌）)在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中不能单独镶嵌平面的是（  ）
A．正三角形            B．正方形        C．正五边形            D．正六边形
2． （2009年上海市)下列正多边形中，中心角等于内角的是（    ）
A．正六边形            B．正五边形        C．正四边形            C．正三边形
3． （2010年广西柳州）一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（  ）
A．9                B．8            C．7                D．6
4．  (2010甘肃兰州)如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（  ）
A．2                B．3            C．                D．
     
5．工（2010山东济南）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（  ）
　  　    A． cm            B． cm        C． cm            D．1cm
二、填空题（每题5分，共25分）
6． （2009年甘肃庆阳）如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是        度．
       
7． （2010河北）如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是      ．
8．帮好友助力 泄露个人信息吗 半径为R的圆内接正六边形的周长是          ．
9． 如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，且BC∥QR，则∠AOQ＝      ．
10．已知正六边形的两条对边相距20㎝，则它的边长是      ．
三、解答题（每题10分，共50分）
11琅琊榜聂铎．如图，正五边形ABCDE中，点M是CD的中点．求证：AM⊥CD．
12．已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比．
13．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．
⑴求正方形的面积；⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．
14．如图，已知正三角形ABC的边长为6，剪去三个角后得到一个正六边形，求此正六边形的边长与面积．
15．如图①②③中，点E、D分别是，正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以点C为顶点的相似邻两边上的点，且BE＝CD，DB交AE于P点．
⑴求图①中，∠APD的度数；
⑵图②中，∠APD的度数为      ，图③中，∠APD的度数为      ．
⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题与结论；若不能，请说明理由．
【参考答案】
【要点梳理】
1． 各边相等，各角也相等 ；2．中心、正多边形外接圆的半径、 外接圆的圆心、边心距；3．；；4． nar
【问题探究】
例1．证∠ACR＝∠DCE＝∠ADB＝∠CDB＝∠CAD＝36°，再利用圆周角定理，证明五段弧相等，即可证明边相等，角相等．．
练习：略
例2．⑴半径：4，；边心距：；⑵正四边形的周长：，正三角形的周长：
练习：提示：过点B作BM⊥OA，可求出BM＝1，即得△OAB的面积，从而可得正八边形的面积为．
【课堂操练】
1．D；2．B；3．C；4．3、；12、；、；5．二十，4；6．外接圆，内切圆，同心圆；7．54；8中国第一次参加奥运会是哪一年．⑴MN＝；⑵120°．9．略．
【每课一测】
一、选择题
1．B；2．C；3．D；4．D；5．A
二、填空题
6．60；7．8；8．6R；9．75°；10．
三、解答题
11．略；12．∶13．⑴25；⑵15°；14．；15．⑴60°；⑵90°；108°；⑶能．推广的问题与结论为：点E、D分别为正n边形ABCMN…中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为．