习 题
1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为
其中为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
解：1） 由知
消去t可得轨道方程
2）
1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为，式中的单位为，的单位为.求：（1）质点的轨道；（2）从到秒的位移；（3）和秒两时刻的速度。
解：1）由可知
消去t得轨道方程为：
2）
3）
解：1）
2）
1-4. 一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为
（1） 图 1-4
（2）
（3）
解之
1-5. 一质量为的小球在高度处以初速度水平抛出，求：
（1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程；
（3）落地前瞬时小球的，，.
解：（1） 式（1）
式（2）
（2）联立式（1）、式（2）得
（3） 而 落地所用时间
所以
1-6. 路灯距地面的高度为，一身高为的人在路灯下以匀速沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度.
证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为，人影中头的坐标为，由几何关系可得 图 1-6
而
所以，人影中头的运动方程为
人影中头的速度
1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为 (m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？
解： 若解的
1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度，斜面对水平的倾角，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等于反射角)。
图 1-8
解：小球落地时速度为 一 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图
（1）
（2）
第二次落地时
所以
1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为，设赤道上重力加速度为.
解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 张子健主演的电视剧
现在赤道上物体
1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为，并且与水平面的夹角为.试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
解：在顶点处子弹的速度，顶点处切向加速度为0。
因此有：
在落地点速度为
1-11. 飞机以的速度沿水平直线飞行，在离地面高时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?
解：设此时飞机距目标水平距离为有：
联立方程解得：
1-12. 设将两物体和分别以初速和抛掷出去．与水平面的夹角为；与水平面的夹角为，试证明在任何时刻物体相对物体的速度是常矢量。
解：两个物体在任意时刻的速度为
与时间无关，故相对物体的速度是常矢量。
1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为，而气球以速度匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？
物体在任意时刻的速度表达式为
故气球中的观察者测得物体的速度
代入时间t可以得到第二秒末物体速度感恩公司最朴实的句子
第三秒末物体速度
第四秒末物体速度
1-14. 质点沿在轴向运动，加速度，为常数．设从原点出发时速度为，求运动方程.
解：
1-15. 跳水运动员自跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度，.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。
解：取水面为坐标原点，竖直向下为艾米汉莫轴
跳水运动员入水速度
1-16. 一飞行火箭的运动学方程为：，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。
解：（1）
（2）
1-17. 质点的运动方程为：式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。
解：（1）轨道方程为
这是一条空间螺旋线。
在O平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h
（2）
（3）
思考题
1-1. 质点作曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为，平均速度为10月1号法定假日几天，平均速率为，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?
（1）；（2）；（3）；（4）
答： （3）
1-2. 质点的关系如图，图中，，三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？
1-2. 质点的关系如图，图中，，三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？
答：
1-3. 结合图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。
答：平均加速度表示速度在时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。
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