《盗梦空间》
本文将剖析其包含的数学文化及其教学意义。
不过，虽然科布的特殊技能，令他在这个贪婪的世界中成为了一个成功的商业间谍，但他为此也付出了沉重的代价。
科布成为企业间谍中令人垂涎的对象，也让他失去了所爱的人，并成为一名国际逃犯。
如今, 柯布接受了一项新任务, 这是他一次救赎的机会, 但是他要做的是潜意识犯罪中最不可能的境界：植入意念，要让一个大企业的继承人自愿解散公司。
如果他们能够成功, 这将会是一次史无前例的完美犯罪。但无论“盗梦小组”如何精心策划, 这次任务过程中一直有一个神秘敌人如影随形, 而这个神秘人只有柯布能够感应到其存在。
因为犯罪现场存在于人的思想中，他到了自己的伙伴，要制造出几乎不可能制造出的3 层梦境，在不断躲避潜意识里的守护者的攻击中，他们有一些人进入了潜意识的边缘，看到了他潜意识里的妻子和孩子，他将会怎么选择? 会留在那里和妻子在一起，还是会回到现实? 无论答案是什么都让人揪心撕肺。
《盗梦空间》简介>>> 《盗梦空间》又名《奠基》(Inception)，是由克里斯托弗. 诺兰编剧与导演的，诺兰继《蝙蝠侠前传2: 黑暗骑士》后再次给我们带来了惊喜，剧情扑朔迷离，悬案迭起，使观众游走
于梦境与现实之间。
多姆. 科布是一个经验老道的窃贼，在人们精神最为脆弱的时候，他潜入别人梦中，窃取潜意识中有价值的信息和秘密。
在他看来，人类思维所能产生的能量是不可限量的——人们靠思维就可以建造城市，可以穿越时空，回到过去重新制定社会的法则。人们甚至可以通过思维来进行犯罪。只可惜，面对如此宝贵的财富，大多数人不知道如何获取。而科布却恰巧拥有这样奇特的技能。他利用人们做梦的时候，从他们的潜意识里盗取秘密；因为往往人们在做梦的时候，精神防线是最脆弱的。
科布把自己这种绝技称作“摄梦术”。从公理体系到非欧几何>>> 影片中柯布一直问：究竟什么是真实？这是一个哲学问题。
转化成数学问题就如思考一个命题是否正数学文化/第2卷第1期32 he Joy of Mathematics 数学趣谈不代表高度的增减, 而是指从两个不同的方向画圈[1]。
<<；盗梦空间》——数学迷阵
盗梦空间》中, 造梦师设计迷宫的核心思想就是将敌人困在一个圈中。造梦师如果想把一个人困住, 就要给他一种无限的错觉。其实我们也可以把人的思想描述成一种几何结构。
迷宫般的逻辑结构是存在的, 埃舍尔楼梯对应着逻辑上的循环悖论, 最典型的便是“鸡生蛋，蛋生鸡”的例子, 它们分开来看都是正确的, 但是放在一起便出现了一个先有鸡还是先有蛋的问题。造梦师就利用非欧空间的弯曲性, 将敌人永远地困在自己制作的梦境当中。
伽利略曾说：“我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙中，而数学正是书写宇宙的文字。”数学是人类文化的重要力量，对人们的观念、精神、思维方式的养成起着重要的影响。
特别是两千多年前古希腊图 1 升与降文明的重大成果——欧几里得几何，作为其精髓的公理化方法，更是对人类理性思维的形成一直起着关键的作用。但欧氏几何研究的只是用圆规和直尺画出的图形，这样的图形是简单的或平滑的。受认识主、客体的限制，欧氏几何就具有很强的“人为”特征。这样，欧氏几何就只能是人们认识、把握客观世界的一种工具，而不是唯一的工具[2]的确。当阐述一个命题正确的时候, 我们的逻辑系统建立在几条公理之上, 该命题可通过公理的推导得出, 这便是我们所说的公理体系。
只有接受公理的假设时，定理才是真的。问题在于公理本身往往也只是假设, 真假是不可证明的。通常我们的逻辑认知都基于欧氏空间，而在一个弯曲的空间中, 如果还用欧氏空间的逻辑进行思考, 必定会产生悖论。
在对欧氏几何平行公设的研究过程中，非欧几何诞生了。一维时, 欧氏空间是直线, 非欧空间可以是圆
圈。二维时, 欧氏空间是平面，非欧空间可以有多种。比如埃舍尔的“升
与降”（如图1）, 其实就是数学中的麦比乌斯环面；而电影《盗梦空间》中整个巴黎街区上下对折的震撼场景, 其实可以看成一个球面。所以柯布真实的世界应是欧氏空间, 而梦中的世界是非欧空间。如果我们为每一个空间都设置坐标系的话, 欧氏空间的坐标系是直线, 而非欧空间的坐标系会弯曲成一个圆。
在自然界, 数学可以生动地推理出一些人们无论如何也无法想象的, 或者在现实空间认为不可能的事实。柯布所展示的盒子世界, 把巴黎折成了一个盒子, 大地变成盒子的内表面, 天空位于盒子的中心, 世界变得像万花筒一样, 其实就是球形的非欧空间。心形黄瓜
埃舍尔的“升与降”, 指出了梦中悖论的存在。在那个空间的高度方向弯曲成了一个圆, 这样楼梯的最高点和最低点具同一高度，所以才能连接上。在那样的空间中, 依然有向上和向下的方向, 但意义已不同, 向上和向下从分形世界到缩放时间>>> 分形几何在《盗梦空间》中也得到了充分的应用。例如, 阿里阿德妮把柯布带到某街区，关上门, 变成两面对立的镜子。根据反射原理, 两面镜子之中出现了数不清的人像。因为镜子可以在镜子中成像, 于是就有了镜中镜……，随着镜子层数的加深, 镜中像会越来越小, 但即使是极小的一个像, 经过放大, 里面还是有镜中镜……，这种自相似性就是分形。类似地, 整部影片最让人难以理解的梦中梦, 也有分形的逻辑特征。
给你未来分形结构对应着无穷的递归逻辑。在分形理论中, 分形是一种具有无限嵌套层次的结构, 自相似是它最主要的特征。把分形分成大大小小不同的层次, 各层次之间互相相似, 并且都和整体相似。整体分成的部分之间不再是等同, 而是相似, 并且各个层次的部分都以不同的相似比存在于整体之中[3]。分形几何目前广泛应用于日常生活和科学研究中, 让学生学习分形几何的初步知识, 将给学生带来一种全新的认识, 帮助他们实现从欧氏几何领域向分形几何领域.
《盗梦空间》有着令人惊叹的复杂情节，而其中许多情节和场景，与部分数学理论和思想非常相符，故事中的一些问题在数学中也有过类似的讨论。在欣赏影片之余，从数学角度来探讨一下电影结局，同样也是一件非常有趣且有挑战性的事情。
一、剧情简介Cobb 与同伴在一次针对日本能源大亨Saito（渡边谦饰）的盗梦行动
中失败，反被Saito 利用。Saito 威逼利诱因遭通缉而流亡海外的Cobb 帮他拆
分竞争对手的公司，采取极端措施在其唯一继承人Fisher（希瑞安·墨菲饰）
的深层潜意识中种下放弃家族公司、自立门户的想法。
周杰伦好听的歌二、
再爱你一遍为了重返美国，Cobb 求助于岳父Miles（迈克尔·凯恩饰），吸收了年轻的梦境设计师Ariadne（艾伦·佩基饰）等人加入行动。在一层层递进的梦境中，Cobb 不仅要对付Fisher 潜意识的本能反抗，还必须直面已逝妻子Mal（玛丽昂·歌迪亚饰）的破坏，实际情况远比预想危险得多《盗梦空间》的难懂，并不是因为导演的叙事方法，电影基本是直叙，因果关系也很直白。我们可以将其分成三段。第一段是从开始到Cobb 及其同伴从高速列车上逃跑。主要讲Cobb 在梦中盗取Saito 想法的行动。这一段描述了两个问题：存在梦中梦结构；你可以利用梦中梦窃取一个人的想法。后面这个问题又带来一个新问题：如果存在着梦中梦，又如何知道醒来时是回到了现实中，而不是掉入另一个梦呢？第二段是Saito 请Cobb 团队帮忙植梦改变Fisher 的想法。其中重要的是通过Cobb 及其团队向新人Ariadne 展示了如何造梦、验梦，以及盗梦的原理。
第三段的潜入梦的部分是故事的高潮。在结局时，Cobb 最终醒没醒，似乎变得比任务更加重要。导演是在证明什么呢？如果观众都觉得说不清是梦还是醒，实际上导演已经证明了一个非常重要的哲学观点：存在着不可知性。
三、三个重要的数学思想与《盗梦空间》的关系
在数学上有着三个重要的思想：1）非欧几何和分形几何2）公理体系3）不可知论我们可以以此来对《盗梦空间》进行一个数学角度的考察。非欧式空间的迷宫在第二段故事中，最令观众惊叹和称奇的
部分就是Cobb 向Ariadne 演示迷宫的部分。在这里一共出现了 3 个迷宫。Cobb 的助手Arthur 向Ariadne 演示了一个无限的楼梯。Ariadne 走了 4 段，一直感觉向上，实际上走了一个死圈，这其实便是画家埃舍尔（Escher）著名的旋转楼梯，它指出了梦中悖论（Paradox）的存在。在面试的时候，Cobb 让Ariadne 画迷宫以测其智商，她画的第3 个迷宫困住了Cobb，这个迷宫是圆圈套来套去，也类似于一条著名的环形蛇迷宫。
封印之剑Arthur 的楼梯和Ariadne 画的迷宫，并不复杂，但它们却并不存在于现实世界。用数学上的语言来说，真实的世界是欧式空间（Euc lidean Space，欧几里得空间），而梦中的迷宫则是建立在非欧式空间（Non-Euclidean Space，非欧几里得空间）之中的。而后Cobb 教授Ariadne 时，把世界折成了一个盒子状的结构。大地变成了盒子的内表面，天空位于盒子的中心，世界变得像万花筒一样颠来倒去，同样是一种非欧氏空间。
什么是非欧式空间？如果我们为每一个空间都设置坐标系的话，欧氏空间的坐标系是直线，而非欧空间的坐标系会弯曲成一个圆圈。在一维上，欧式空间是直线，非欧空间可以是圆圈。在二维度上，欧式空间是平面，非欧式空间则可以有多种。Cobb 所展示的盒子世界，其实就是球形的非欧空间。如果我们要构造一个Ariadne 所走的埃舍尔楼梯，在那个空间的高度方向一定是弯曲成了一个圆。这样楼梯的最高点和最低点具同一高度，所以才能联接上。在这个空间中，依然有向上和向下的方向，但意义已不同。向上和向下不代表高度的增减，而是指从两个不同的方向画圈。好比从一个方向上看，向
上走是顺时针，向下走是逆时针。所以当你向上走和向下走时，一直都在不断重复。生活中这样的楼梯是没有的，但时钟等许多事物的工作方式却具有这样的性质。怎样把敌人永远困在梦中非欧式空间中的异常，为何会让人很难觉察呢？这些非欧空间被称为流形（manifold），流形同欧氏空间相比是局部相似，全局不同。如果从欧氏空间中取出一部分，再从非欧氏流形中取出一部分来，这两者会非常相似。例如一维的欧氏空间是直线，非欧氏空间是圆。如果线段比较短，或是圆的半径比较大的话，这两者没有本质的区别。所以如果只走一段楼梯，或是只是生活在盒子世界中的一个小部分，没人能发现问题。全局性质有时被说成“拓扑”性质。可以把拓扑理解成一种联接。比如两个人从直线上的一点出发，各自朝一个方向走，永远不会碰头，但如果他们来到一个圆上，这样走肯定最终会碰面的。在电影的迷宫设计中，造梦师如果想把一个人困住，就要给他一种无限的错觉。把被骗的人想成是一只小虫子，在二维世界里，如果是欧式空间，就是一个平面，你只能设计一个很大的圆，但小虫总有一天会还是跑出去。但如果这是一个非欧式空间，如球面，小虫怎么都跑不出去，这样，造梦者就可以将敌人永远困在自己设计的梦中。非欧式空间的历史最开始思考非欧式空间的是德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777~1855）。当他发现在地面看的直线在塔楼上看不是直的，便开始追问究竟何为弯，何为直？由此，他给出了几何概念的解析定义，创立了微分几何。而《盗梦空间》故事中迷宫的思想，则更多来源于高斯的学生黎曼（Georg Friedrich Riemann，1826~1866）。黎曼问了一系列更大胆的问题：空间如果是弯曲的会怎样？（读者可以想象一个坐标系是弯的。）如果坐标系是弯的，那长度、角度还有什么意义吗？在黎曼的时代，许多人认为这已不是数学，而是哲学。黎
曼为角度和弧度给出了一个新的定义，今天称黎曼度量，并给出了黎曼度量在不同空间中换算的规则。黎曼流形（manifold）便用来指称这种弯曲的空间。而
且黎曼也思考过真实的宇宙是否是一个欧氏空间。他的观点我们不知道，因为我们只能看到宇宙的一部分。在此后的100 多年中，几乎无人正确理解黎曼的贡献。但这一思想深刻地影响了包括广义相对论在内的一系列伟大理论的诞生。何为真实？何为公理？在《盗梦空间》中，Cobb 一直在问：究竟什么是真实？标准是什么？在数学上，人们考虑过类似的问题，即一个命题是否是正确的。并产生了一个很有启发的观点，即公理体系的观点。一套逻辑系统建立在几条公理之上，其他的规律可通过公理的推导得出。这便是我们所说的公理体系。当我们说一个定理是正确的时候，实际上是不严格的说法。更准确的说法应是一个定理可由公理推导出来。只有当你接受公理的假设时，定理才是真的。问题在于公理本身常常也只是假设，真假是不可证明的。例如，非欧式空间与欧式空间之间一个最大的区别，在于平行公理：经过一条直线之外的点，有几条直线和已知的直线平行？如果假设只有一条的话，那就是平面几何，这时三角形内角之和是180 度。如果一条也没有，便是球面几何，这时三角形内角合大于180 度。在不同的假设中，几何规则完全不同。通常我们对空间的逻辑认知和思考都基于欧氏空间，这些逻辑都是在假定空间没有弯曲的情况下才是正确的。而在一个弯曲的空间中，如果还是用欧氏空间的逻辑进行思考，必定会推出不同的结果，产生悖论。建立在“陀螺公理”之上我们再回到电影，Cobb 判断是梦是醒从来不用逻辑思考，只用陀螺验证。因为一些事可以从“在梦中”这一假设推
导，也可以从“在现实中”这一假设推导。在两种假设前提下，用不同的逻辑可能推导出同样的结果。“陀螺倒就是现实中，否则就是在梦中”是作为验梦的陀螺公理。Cobb 只靠这一条分辨现实和梦境，不用逻辑推理。可以说Cobb 对一切对梦和现实的分判，都是建立在陀螺公理之上的。许多人会奇怪“陀螺公理”中，为何梦中的陀螺会转个不停。已有许多解答，非欧式空间可以给出一种可能的解答，弯曲的空间会产生几何上的逻辑悖论，同样会产生物理上的逻辑悖论。比如我们可以想象在埃舍尔设计的楼梯上，当一个人向下走时，实际上就是在跑圈。同样的道理，如果你抛出一个物体，它会向下运动，实际上它也是在跑圈。
分形几何的迷宫Cobb 设计的迷宫，核心思想就是将敌人困在一个圈中。但故事的复杂性还远超于此。Ariadne 展示了一种不同于Cobb 设想的迷宫结构，那就是镜子中产生无穷多的人像。Ariadne 把Cobb 带到一个地方，关上门，弄出两面镜子，两面镜子之中出现了数不清的人像。因为镜子可以在镜子中成像，于是就有了镜中镜中镜中镜随着镜子层数的加深，镜中像会越来越小。但即使是极小的一个像，经过放大，里面还是有镜中镜中镜中镜这便是几何上被称为分形（fractal）的结构。我们可以将镜中镜看成《盗梦空间》故事结构的一种比喻。因为镜中可以有镜，所以就有镜中镜中镜中镜同样，因为梦中会产生梦，所以有梦中梦中梦中梦
最早的分形结构却不是来源于几何，而是来源于对递推规则的研究，具体说是微分方程的研究。分形结构是微分方程中chaos 现象的一种，最早认识到chaos 的人是法国数学家庞加莱（Jules Henri Poinc
盗梦空间最后结局aré，1854~1912）。打开不可知论的魔盒其实，我们也可以把人的思想描述成一种几何结构。迷宫般的逻辑结构是存在的，它会导致“不可知性”。埃舍尔楼梯对应着逻辑上的循环悖论，最典型的便是“鸡生蛋，蛋生鸡”的例子，它们分开来看都是正确的，但是放在一起，便出现了一个先有鸡还是先有蛋的问题。分形结构对应着无穷的递归的逻辑。物理学上的观点“基本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成电子、质子和中子，现代物理学在进一步分解电子、质子和中子。但每得到一种基本的粒子，就要将其分解成更基本的粒子，这种
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