其实写这样一篇日志很汗颜，类似的东西可能一些知名大家写过，人大经济论坛上类似的帖子也层出不穷，敝人的拙作能对整体社会福利提高多少实在很值得怀疑。不过早就萌生了这样的想法，几年间也有很多疑惑和思考，不妨就总结一下，以飨后人，尤其是理工科出身有志于从事社会科学研究的学弟学妹们，还请大家多加指教。
我觉得写具体的条目之前，需要先讨论一下数学在社会科学尤其是经济学、金融学中的作用。时兴的看法一般有两类，一类是数学无用论，极端的人认为但凡是数学模型推导出来的都是没有用的，虚无的。这一论点在国内依然有市场，不过在北美已经基本被抛弃了。另一类是数学至上论，认为所有经济学、金融学理论都应该建立在公理、假设、命题、定理的结构下。似乎是为了弥补国内以前在社会科学上的差距，这类观点在国内也很有影响力，不仅早期很多理工科的教授学生转行做经济金融研究，更影响了国内一流大学的课程设置上，对数理基础的强化仿佛一下子登上了意识形态的顶峰，变得毋庸置疑了。我想简述一下我自己的观点，虽然我本科是主修数学的，但我不支持把经济数学化。好的经济学文章都是极富直觉和思考的，有些思考是不能用数学代替的。过分依赖数学工具的严重后果是会导致经济直
觉的退化，用抽象的数学逻辑替代经济直觉不仅会是观点空洞，得不到现实的结论，更有可能在简化过程中丢掉不明显却至关重要的条件，添加不靠谱的假设。另一方面，对数量方法的敌视更是可笑，数学工具的使用可以帮助规范化经济学的结构，而应用无数杰出先贤得到的数学结论则可以大大增强经济分析的严谨性。只要使用好数量工具，是有百利而无一害的。
再谈谈本文的适用范围：我是希望尽可能扩大适用者的范围，所以我的标题取的是劳动仲裁律师“经济金融研究生”，其中既包括硕士生，比如英国的Msc, MPhil，美国的MA/MS/M.Eng:经济硕士、金融硕士、金融工程硕士，更包括研究学位中的PhD. 一般来讲，美国的研究生训练最偏定量，欧洲就显著不同。国内近年来由于师资队伍中出现了大量海归人才，发展势头迅猛，学术训练也日趋严谨和规范。在学位上，英国的硕士相当于美国博士生的前两年，主要重于学术基础。美国的硕士则更偏职业导向，比较在乎应用。硕士生入学的数学标准可能比博士生低很多，但是想从课堂上得到尽可能多的收益，了解一些必要的数学基础还是很重要的。当然，限于我自己的视野和学术水平，不敢说有多高的参考价值，仅作抛砖引玉。
重阳节图片2022
讨论经济学、金融学需要的数学立足于需求导向，即该学科的学习中必要的数学知识和方法，多余的数学知识固然是有益的，不过边际收益递减也是不争的事实。一般来讲，经济学的学习可以由三大基础课构成，即：微观经济学，主要是研究个体的经济行为；宏观经济学，主要是研究宏观经济的短期波动和长期增长；计量经济学，应用概率统计的方法从经济数据中探索和验证经济理论。前两者是研究对象导向型而计量经济学则更侧重于方法本身。这三者需要的数学更有不同，我会在后面提及。金融学的分类则更为复杂，我本人也不是非常熟悉，不过基本可以分为两类，即公司金融和资产定价。公司金融更着重个体企业的研究，依赖的主要是微观经济学、博弈论、契约理论等研究工具。资产定价则需要处理更多随机事件以及动态的问题，从宏观经济学中汲取了一些方法和思想。研究生阶段的金融学一般称为金融经济学，与传统的商科专业如会计、管理、营销相比对经济理论的依赖更为显著，因此将金融学与经济学一并讨论是合适的。
下面总算要进入正题了，我将经济金融需要的数学方法简单归为以下三类：分析学与微分方程，代数、拓扑以及现代数学，概率、统计与计算数学。除了少量的现代数学以外，大多数提及的数学知识其实已经有几十年到上百年的历史了。
（一）分析学与微分方程
分析学是现代经济金融学的基础，也是重中之重。为什么叫分析学而不是微积分，主要是为了强调两者的不同。基础的微积分知识如一元微积分、多元微积分等大多数人在本科阶段都学过，即所谓的高等数学，但是这些知识对经济学研究生而已是不够的。由于经济学研究生的训练强调学术严谨性，其中包含了大量的命题证明，单纯的微积分计算公式并不能满足需要。以我个人的经验，北京大学数学学院的三学期数学分析是可以满足基本需要的。两学期的高等数学（微积分）就有所欠缺。我国的微积分（数学分析）教学与美国有显著不同，我们是将证明与计算公式穿插在一起，伴随课程难度的降低，逐渐减少证明的数量。而美国是统一让学生修读两学期的微积分，再单独开设分析入门这门课，集中训练证明技巧。这样三学期的设置与国内数学系类似，所以对数学系的同学影响不大，但对于其他修读高等数学专业的同学，就存在一个难以衔接的问题。本专业的教学不强调证明技巧，到数学系去听数学分析III又发觉对方在讲多元微积分。
对于没有条件的同学，可以选择修读Rudin的Principle of Mathematical Analysis（机械工业出版社有英文影印版），这本书大致可以满足需要，而且是经典之作。在具体知识上，除了典型的微积分知识，还有泰勒展开，隐函数和反函数定理，集合论，简单的点集拓扑，最优化条件（拉格朗日方法）以及一些经济学中特有的知识，如凹函数、拟凹函数，
约束优化（Kuhn-Tucker、拟凹优化等）。这些特有的知识可以参考相关的数理经济学书籍，如比较普遍的蒋中一的《数理经济学基本方法》。硬卧和软卧
在数学分析（微积分之上），还有复分析（复变函数）、实分析（实变函数）与泛函分析这三个领域。据我目前所知，复分析在经济学中确实没有什么应用，所以不建议大家修读。实分析的地位则更为特殊一点。由于美国的教学设置，他们的实分析课程往往更侧重于基础的分析训练而不一定是高级的Lebesgue测度与积分，所以你经常会看到美国学校要求你具有实分析，但他们的学生没听过Lebesgue测度的现象。我认为国内的实变函数教材还是值得一读的，基础扎实，同时讲解一些点集拓扑和集合论的知识。越来越多的经济学研究中也引入了实分析的内容。至于泛函分析，一些基本的内容如不动点定理、超平面分割定理以及对偶思想等会有不少应用，但整体而言涉及的内容并不多，不需要系统性地学习。
微分方程在经济学与金融学中的应用亦十分广泛。微分方程分为常微分方程和偏微分方程，其中常微分方程主要应用于经济学之中，尤其是经济增长和宏观经济学。因为这两者都着重研究动态的问题。但国内的常微分方程书籍过于侧重理论证明，对于应用以及直观
的培养不足。菲尔兹奖获得者Smale著有一本微分方程与动力系统的书，其中内容很明快很直观，有兴趣的同学可以选来阅读。其实国内的高等数学中涉及的常微分方程已经基本满足需要了。我建议大家将常微分方程和线性代数结合起来学，这样学习常微分方程的同时应用线性代数的理论，有利于理解和提高。偏微分方程更多用于金融学，Black和Scholes关于期权定价模型的经典之作就用了一个热方程来求解。但偏微分方程的难度比较大，建议大家可以涉猎一下，但是选课的时候可能要谨慎一点。
（二）代数、拓扑和现代数学
线性代数对经济学的影响极大，是非常重要的内容，但抽象代数就毫无关联。所以大家在选修时可以有所侧重。线性代数中的正负定、特征值等内容以及矩阵表述形式等知识都是经济学中的基本概念，一定要熟练掌握。至于线性空间之类的内容就相对不是那么重要了。之所以没有提及几何是因为几何在经济学中确实没有什么应用，拓扑的应用倒是有一些，不过主要是点集拓扑。拓扑学之类的课程倒是不用系统性的学习，以我个人为例，我也只是自学了一点点集拓扑，像是连续函数等价于开集的原像是开集之类的性质，像代数拓扑之类的内容对于大多数人而已就没什么必要掌握了。不过对于专攻经济理论的人，一
些现代数学还是有必要的，像是微分流形之类的，在机制设计、一般均衡和博弈论中都有应用，而且伴随着经济理论的抽象化和规范化，一些现代数学语言势必会愈发成为主流。
（三）概率、统计与计算数学
概率部分大概可以分成三个小部分：概率论与测度论、随机过程和随机分析。测度论为基础的高等概率论是一门很着重于语言的课程，本身对于经济学的贡献并不是很大，但是只有掌握这样的语言才能阅读前沿的文献。随机过程的概念和方法则广泛应用于现代宏观经济学（不是大家熟悉的凯恩斯宏观经济学哦），可以说随机性的引入直接改写了宏观经济学的框架，也构成了宏观经济学的基础特征：动态与随机。随机分析本身则更是金融学的基本工具，甚至可以说，是金融学的理论研究促进了随机分析的蓬勃发展。针对学习的内容，我认为大家有必要学习基础的微积分概率论，同时自修测度论和高级随机过程，这部分主要立足于基本语言以阅读文献，而不求具体的命题和定理。由于现代经济学发展的特点，规范化成为一个主流方向，所以即便运用的数学工具并没有这般超前，使用的逻辑体系却已经达致相当高阶的水准了。概率与随机过程可以选用Durret的《概率论》，国内有影印版，这是一本很不错的教材。至于随机分析的话，有几本金融随机分析都是很不错的参考书，尤其是将金融的应用加入到理论内容之后，有助于消化吸收。
由于统计学与计量经济学千丝万缕的关系，统计成为经济学的一个重要基石。不过考虑到大家在研究生阶段还要在计量经济学课上系统地修读统计学，所以这部分的要求反而不是很高，我认为只要有一门理论的微积分基础的（如果是测度基础的更好）数理统计学就可以了。有志于从事计量研究的同学应该多修读一些统计的课程，但是相比于统计学本身，可能打好概率的基础更为重要。至于其他从事理论或者实证研究的同学，计量的方法相较于理论更为重要，所以统计学的内容倒是不需要掌握那么多。Casella的《统计推断》是主流的计量参考书，大家可以考虑购入。食品科学与工程专业就业前景
计算数学，也就是计算方法，对于经济学的贡献主要在于数值模拟等方面。由于现代宏观经济学的突飞猛进，其应用的模型已不再可以得到精确的解析解，因此数值模拟成为了非常重要的研究方法。此外在计量经济学中也有很多的应用。对这方面我不是很了解，不过我认为修读一学期的计算概论并掌握Matlab的使用还是非常必要的。
蒋中一（四）结语
写了这么多，不知道有没有人已经看烦了。不过本文的初衷在于勾勒现实中的经济金融研究生应该具有的数学素养，杜绝极端。一方面不主张大家偏废数理基础，另一方面也反对
盲目，学习很多用处不大甚至根本没有用的内容。与其这样，倒不如把精力放在留心现实世界，多研究些经济问题，培养直观来的有意义。希望一些还在本科的同学能从中受益，有的放矢。而一些总感觉数理基础不好的同学也可以参考文中的内容加以提高，而不要自怨自艾。我总认为经济学与物理学有很多的相似，一个研究人类社会，一个研究自然世界，都大量运用数学加以描述和分析，但又独立于数学理论。经济学有今天的发展离不开数学的支持，也希望能有更多志同道合的同学们加入这一行列，共同研究奇妙的社会经济行为和现象。如果大家有兴趣，过段时间我可以再罗列一个经济类的书单。
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