88道题搞定排列组合与概率
一、计数问题
【题型一a】“挑”元素：合理分类与分步
1.1-100共100个数中，任意挑1个数字，
（1）该数字是3或5的倍数的挑法有几种？
（2）不是3也不是5的倍数的数有几个？
（3）是3的倍数但不是5的倍数的数有几个？
2.从1-20的20个数中，挑出3个数，使他们的
（1）和为偶数，几种挑法？（2）乘积为偶数，几种挑法？
3.一个盒子内有6个红球，4个黑球，若取到一个红球得1分，取到一个黑球得2分，则从
盒子中取出3个球，得分不小于5分的所有取法共有几种？
4.8名志愿者中，只能做英语翻译的有4人，只能做法语翻译的有3人，两个都能做的有1
人。从中选4人来，安排2个人去做英语翻译，2个去做法语翻译，有几种安排方法？
5.从6双不同的鞋子中挑出4只，则
（1）恰好没有成双鞋子的取法有？（2）恰好只能配成一双鞋子的取法有？
6.某班级有10个学习小组，每组5名成员，现从中挑4名同学出来成立班委，要求这4个
人来自不同的学习小组，则共有多少种不同的选法？
7.如右图，一个矩形被7条直线所截，其中横的三条互相平行，竖的四
条互相平行，则图中共可以到多少个矩形？
8.集合{0，1，2，3}共有多少个子集？
9.150有多少个约数？其中是偶数的约数有几个？
10.湖中有4个小岛，它们的位置恰好构成一个正方形的4个顶点，若要修建起3座桥将这4
个小岛连接起来，则不同的建桥方案有几种？
【题型一b】“本步”法
11.4位同学报名参加5项比赛，每人报一项比赛
（1）无其他要求，有几种报法？（2）每项比赛至多允许1个人报，有几种报法？
12.0-5共6个数字，
（1）共可组成多少个无重复数字的四位数？
（2）共可组成多少个无重复数字且不能被5整除的四位数？
13.在小于1000的自然数中，不含数字5的自然数有几个？
14.安排5个人去完成A、B、C三项不同的工作，要求每个工作均1个人完成，每人至多
做一个工作，其中甲乙两人不能做A工作，则共有多少不同的安排方法？
15.用5种颜去涂图中4个区域，要求相邻区域颜不同，共有几种涂法？
16.一个学习小组有5名同学，则这5名同学恰好有2名同学的生日在二月份（28天）的所
有生日情况共有几种？（1年算365天，生日不考虑年）
17.一辆公交车上有9名乘客，该公交车会经过4个站（包括最后一站），则恰好在第一站和
第二站均下来3名乘客的所有下车情况有几种？
18.从1-10的10个数中挑出3个不同数，使其能构成等差数列，则这样的等差数列共有几个？
19.0-7共8个数字，
（1）共可组成多少个无重复数字的三位数奇数？
（2）共可组成多少个无重复数字的三位数偶数？
20.安排5个人去完成A、B、C三项工作，要求每个工作1个人完成，每人至多做一个工
作，且甲不能做A工作，乙不能做B工作，则共有多少不同的安排方法？
21.4种颜去涂正方形ABCD的四条边，每条边涂1种颜，相邻边颜不同，有几种涂法？锄禾日当午全诗
22.0-9共10个数字，共可组成多少个无重复数字且个位数字大于千位数字的四位数？
23.3个女生和2个男生排成一排，若每人身高各不相同，则
（1）要求从左往右，3个女生从高到矮排列，共有几种排法？
（2）要求队伍从正中间到两端身高依次降低，共有几种排法？
24.书架上原来有6本书排成一排，现在新买了4本书，要求将这4本书插入这一排书，共有
多少不同的放法？
25.射击运动员总共射击了8，其中有3命中目标，则所有情况共有多少种？
26.信号兵把红旗和白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有2面红旗和3面白旗，把这5面
旗都挂上去，可表示不同信号的种数是？
27.一段台阶有11级，某人每步只能跨1级或2级，则该人想7步走完这段台阶，所有的走
法共有几种？
28.如图，一人从A点走到B点，只能沿黑线走，且要走最短路线，则所有
的走法共有几种？
【题型二】相邻、相间问题水龙头品牌排名
29.4个男生，4个女生排成一排，按以下要求排列，各有多少种不同的排法？
（1）甲乙丙站一起；（2）甲乙丙各不相邻；（3）甲与乙、丙均相邻；
（4）甲乙丙三个人中恰好只有两个人相邻；（5）甲乙两人相邻，丙丁两人不相邻；
（6）甲乙不相邻，丙丁也不相邻；（7）男生、女生相间隔；
30.3个人去坐9个位置，则
（1）恰好3个人各不相邻的坐法有？
（2）每个人的两边均有空位的坐法有？
（3）恰好只有两个人坐在一起的坐法有？
31.从一块并排10垄的田地中，选出3垄，分别种植黄瓜、茄子和西红柿3种农作物，要求
任意两种农作物间至少隔了1垄地，共有几种种法？
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32.射击运动员总共射击了8，有3命中目标，则这3恰好只有2连中的情况有几种？
33.从1-10的10个数中取3个不同的数字出来，
（1）要求取出的3个数均不相连，共有几种取法？
（2）要求取出的3个数字恰好只有两个数字相连，共有几种取法？
【题型三】分堆、分配问题
34.将5封信分入编号1-4的4个邮筒，各有多少种不同的分法？
（1）恰好每个邮筒都有信；
（2）恰好每个邮筒都有信，且指定的某一封信不能放入1号邮筒；
（3）恰好只有一个邮筒空着；
（4）恰好只有一个邮筒空着，且1号邮筒至少有2封信。
35.6名篮球选手平均分成两组进行对抗赛，各有多少种不同的分法？
（1）其中甲乙两名种子选手不能分在同一个组；
（2）其中甲乙两名选手恰好都分在了A组；
36.3名医生和6名护士分配到3所学校帮学生体检，要求每所学校分到1名医生和2名护士，
则不同的分配方法有几种?
37.一辆公交车上有9名乘客，该公交车会经过3个站（包括最后一站），则恰好在第一站和
第二站均下来3名乘客的所有下车情况有几种？
【题型四】配对问题
38.有10名学生，坐在位于一排的10个位置上，现在将10名学生重新排位就坐，则恰好有
6个人仍坐在了原来位置上的安排方法有几种？
39.有4名同学需参加学校组织的英语口语、专业课两种面试。已知两种面试同时进行，时间
均是8点到10点两个小时，每名同学单独面试，且每人每种面试的面试时间均为半小时。
则4名同学共有多少种面试安排？
40.用3种颜去涂图中三棱柱的6个顶点，要求每个顶点涂1种颜，且同一
条棱两端的顶点涂的颜不同，则所有的涂法共有多少种？
41.用1，2，3这三个数字填入如图的9个格子中，使每行的三个数字各不相同，
且每一列中相邻两个位置的数字不同，则共有多少种填法？
【题型五】分相同元素问题
42.将10张相同的邮票分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分到一张，有几种分法？
43.现有16个相同的足球，分给编号为1-4的四个班级（默认足球要分完），
（1）要求每班至少分到1个足球，有多少种不同分法？2019蒲巴甲和梁洁分手
（2）要求每班至少分到2个足球，有多少种不同分法？
（3）无要求，有多少种不同分法？
（4）要求每班分到的足球个数不少于其编号数，有多少种不同分配方案？
44.已知四元一次方程a+b+c+d=8，且a、b、c、d均为自然数，则该方程有几组解？
45.已知三元一次不等式a+b+c≤10，且a、b、c均为正整数，则该不等式共有几组解？
46.将5个相同红球，4个相同的白球，分给甲乙两个人，每人至少分1个球，共有几种分法？
【题型六】二项式定理
47.(a+2/a)5展开式中，常数项为？
48.(x3+3/x2)n的展开式中含有常数项，且n是正整数，则n的最小值为？此时，其常数项为？
49.(2x2-x+1)5的展开式中，x2项的系数为？x3项的系数为？
附：圈排问题，迄今未考到
I．6个同学排成一圈，
（1）无其他要求，共有几种排法？
（2）其中甲乙两个人要相邻，共有几种排法？
二、概率
【题型七】等概率事件概率计算
50.任取一个自然数，其平方后的末位数字是1的概率为？
红旗>短而精辟的教师祝福语51.共有10件产品，其中有3件是次品，
（1）从中任挑2件，则至少有1件是次品的概率为？
（2）从中任挑2件，则恰好只有1件是次品的概率为？
（3）依次从中挑2件，则恰好第2次取到的是次品的概率为？
（4）依次从中挑2件，则恰好只有第2次取到的是次品的概率为？
52.袋子里有10只相同大小的球，编号1-10，从中任取5只，则球的最大号码是6的概率为？
53.一箱子内有4枚两分币，2枚一分币，总共6枚，从中随机取出3枚，则3枚硬币的面值
之和是5分的概率为？
54.有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9，从中任取三条，能构成三角形的概率为？
55.将一个白木质的正方体的六个表面都涂上红漆，再将它锯成27个小正方体，从中任取3
个，至少有1个三面是红漆的小正方体的概率为？
56.某次会议共来了6个人，其中2个人来自A企业，其余4个人分别来B、C、D、E四个
企业，随机挑3个人发言，则这3个人来自不同企业的概率为？
57.甲参加某次考试，总共有6道题，其中有4道题甲能答对。考试时要求甲任意抽答3道题，
若能答对2道题以上就算考试过关，则甲考试过关的概率为？
58.一辆公交车上共有6名乘客，该车会依次经过4个站（包括最后一站），则
（1）最后一站恰好下来2个人的概率？
（2）恰好每个站都有人下车的概率？
59.甲乙两人一起去上海世博会，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，
每个景点参观1小时，则最后一小时他们在同一个景点的概率为？
60.某剧院正在上演一部新歌剧，前座票价为50元，中座票价35元，后座票价20元，如果
买到任何一种票是等可能的，现甲乙两人各去购买一张票，则总价不超过70元的概率为？
61.设正方形ABCD的中心点为O，在以A、B、C、D、O为顶点构成的所有三角形中任意
取出2个，他们的面积相等的概率为？
62.右图是一个简单的电路图，S1，S2，S3表示三个开关，随机闭合S1，S2，
S3中的两个，灯泡发光的概率是？
63.共有10个座位的小会议室内随机坐上6名参会人员，则指定的四个位置恰好被坐满的概
率为？