事件的相互独立性
二、合作探究
1.相互独立事件的判断
一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
【解】(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},
这时A={(男,女),(女,男)},
B={(男,男),(男,女),(女,男)},
AB={(男陕西二本学校,女),(女,男)},
于是P(A)=,P(B)=,P(AB)=.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B),
所以事件A,B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,伊东美崎女),(女,女,男),(女,女,女)}.
由等可能性知这8个基本事件的概率均为,这时A中含有6个基本事件,B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本事件.
于是P(A)==,P(B)==,P(AB)=,
显然有P(AB)==P(A)P(B)成立.
从而事件A与B是相互独立的.
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【解】用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件.
则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1.
(1)由题意得A,B,C之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为
P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)=
P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2=1-P()=1-P()P()P()
=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
(1)[变问法]在本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率.
解:恰有一列火车正点到达的概率为
P3=P(A)+P(B)+P(C枣花馍的做法和花样图片)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.
(2)[变条件]若一列火车正点到达记10分,用ξ表示三列火车的总得分,求P(ξ≤20).
解:事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”,其对立事件为“三列火车都正点到达”重庆男孩变僵尸事件,所以P(ξ≤20)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)
=1-0.8×0.7×0.9=0.496.
3.相互独立事件的综合应用
本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为,,两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和,求P(ξ=4)和P(ξ=6)的值.
【解】(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为,.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=×+×+×=.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
(2)P(ξ=4)=×+×+×=,
P(ξ=6)=×+×=.
【学习小结】
1.相互独立的概念
设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.
2.相互独立的性质
若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.
【精炼反馈】
1.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:选A.左边圆盘指针落在奇数区域的概率为=张柏芝与谢霆锋,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=.
2.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(周迅 李冰冰A)=________;P( )=________.
解析:因为P(A)=,P(B)=.
所以P()=,P()=.
所以P(A )=P(A)P()=×=,P( )=P()P()=×=.
答案:
3.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复,试求下列事件的概率:
(1)第3次拨号才接通电话;
(2)拨号不超过3次而接通电话.
解:设Ai={第i次拨号接通电话},i=1,2,3.
(1)第3次才接通电话可表示为 A3,
于是所求概率为P(A3)=××=.
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1+ A2+A3,
于是所求概率为P(A1+A2+A3)
=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=+×+××=.
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