事件的相互独立性
、合作探究
1.相互独立事件的判断
一个家庭中有若干个小孩假定生男孩和生女孩是等可能的A={一个家庭中既有男孩又有女孩}B={一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形讨论AB的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
【解】(1)有两个小孩的家庭男孩、女孩的可能情形为Ω={(男男)(男女)(女男)(女女)}
它有4个基本事件由等可能性知概率都为.
这时A={(男女)(女男)}
B={(男男)(男女)(女男)}
AB={(男陕西二本学校,女)(女男)}
于是P(A)=P(B)=P(AB)=.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)
所以事件AB不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男男)(男女)(男男)(男女)(女男)(女伊东美崎女)(女男)(女女)}.
由等可能性知这8个基本事件的概率均为这时A中含有6个基本事件B中含有4个基本事件AB中含有3个基本事件.
于是P(A)=P(B)=P(AB)=
显然有P(AB)=P(A)P(B)成立.
从而事件AB是相互独立的.
王敏某天乘火车从重庆到上海去办事若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【解】用ABC分别表示这三列火车正点到达的事件.
P(A)=0.8P(B)=0.7P(C)=0.9
所以P()=0.2P()=0.3P()=0.1.
(1)由题意得ABC之间互相独立所以恰好有两列正点到达的概率为
P1P(BC)+P(AC)+P(AB)=
P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2=1-P()=1-P()P()P()
=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
(1)[变问法]在本例条件下求恰有一列火车正点到达的概率.
解:恰有一列火车正点到达的概率为
P3P(A)+P(B)+P(C枣花馍的做法和花样图片)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092.
(2)[变条件]若一列火车正点到达记10分ξ表示三列火车的总得分P(ξ≤20).
解:事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”其对立事件为“三列火车都正点到达”重庆男孩变僵尸事件所以P(ξ≤20)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)
=1-0.8×0.7×0.9=0.496.
3.相互独立事件的综合应用
本着健康、低碳的生活理念租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过小时免费超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和P(ξ=4)和P(ξ=6)的值.
【解】(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为.
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件AP(A)=×××.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
(2)P(ξ=4)=×××
P(ξ=6)=××.
【学习小结】
1.相互独立的概念
AB为两个事件P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与事件B相互独立.
2.相互独立的性质
若事件AB相互独立那么AB也都相互独立.
【精炼反馈】
1如图在两个圆盘中指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(    )
A.                        B.
C.      D.
解析:选A.左边圆盘指针落在奇数区域的概率为张柏芝与谢霆锋右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×.
2.已知AB是相互独立事件P(A)=P(B)=P(周迅 李冰冰A)=________;P( )=________.
解析:因为P(A)=P(B)=.
所以P()=P()=.
所以P(A )=P(A)P()=×P( )=P()P()=×.
答案: 
3.某人忘记了电话号码的最后一个数字因而他随意地拨号假设拨过了的号码不再重复试求下列事件的概率:
(1)第3次拨号才接通电话;
(2)拨号不超过3次而接通电话.
解:设Ai={第i次拨号接通电话}i=1,2,3.
(1)第3次才接通电话可表示为 A3
于是所求概率为P(A3)=××.
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1 A2A3
于是所求概率为P(A1A2A3)
P(A1)+P(A2)+P(A3)
×××.