一、两向量的数量积 1、数量积的物理背景：设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动
到点M 2.
以s 表示位移
21M M .
由物理学知道,
力F 所作的功为
W = |F | |s | cos q ,
其中q 为F 与s 的夹角.
2、数量积：对于两个向量a 和b ，它们的模|a |、|b |及它们
的夹角q 的
余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积，记作a ×b ,
即
a ·
b =|a | |b | cos q .
3、数量积与投影:
由于|b | cos q =|b |cos(a ,^ b )，当a ¹0时,|b | cos(a ,^ b )
是向量
b 在向量a 的方向上的投影，于是a ·b =|a | Prj a b .
同理,
当b ¹0时,a·b
= |b | Prj b a .
4、数量积的性质:
(1) a·a
=|a | 2.
(2) 对于两个非零向量 a 、b ，如果 a·b =0，则 a ^b ;
反之，如果a ^b ，则a·b
=0.
如果认为零向量与任何向量都垂直，则a ^b Ûa ·b =0.
5、数量积的运算律:
(1)交换律: a·b = b·a ;
(2)分配律:
(a +b )×c =a ×c +b ×c .
(3)(l a )·b = a·(l b )= l(a·b ),
(l a )·(m b )= lm(a·b ),l 、m 为数.
例1 试用向量证明三角形的余弦定理. 6、数量积的坐标表示:
设a =(a x , a y , a z ),b =(b x , b y , b z ), 则a·b =a x b x +a y b y +a z b z . 7、两向量夹角的余弦的坐标表示:
设q =(a , ^ b ), 则当a ¹0、b ¹0时，有
222222||||cos z
y x z y x z
z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=
⋅=b a b a θ.
例2 已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2)，求ÐAMB .
解 从M 到A 的向量记为a , 从M 到B 的向量记为b , 则ÐAMB 就是向量a 与b 的夹角.
a ={1,1,0},
b ={1,0,1}.
因为
a ×
b =1´1+1´0+0´1=1,
2011||222=++=a , 2
101||222=++=b .
所以2
1221||||cos =⋅=⋅=
∠b a b a AMB .
从而 3
π=∠AMB .
例3 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域,
液体在这区域上
各点处的流速均为（常向量v.设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)）, 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为ρ).
二、两向量的向量积
1、向量积：设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出:
c的模|c|=|a||b|sin q ，其中q为a与b间的夹角;
c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手规则从a 转向b来确定.
那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作a´b，即
c= a´b.
根据向量积的定义, 力矩M等于→OP与F的向量积，即
→
=OP.
F
M⨯
2、向量积的性质:
(1) a´a= 0
(2) 对于两个非零向量a、b，如果a´b=0，则a//b
反之，如果a//b，则a´b= 0.
如果认为零向量与任何向量都平行，则a//bÛa´b=0.
3、向量积的运算律:
(1) 交换律a´b=-b´a
(2) 分配律:(a+b)´c=a´c+b´c.
(3) (l a)´b=a´(l b)=l(a´b) (l为数).
4、向量积的坐标表示:
设a
= a x i + a y j + a z k ,
b = b x i + b y j + b z k .
a ´
b =( a x i + a y j + a z k )´( b x i + b y j + b z k )=a x b x i ´i
+ a x b y i ´j + a x b z i ´k +a y b x j ´i + a y b y j ´j + a y b z j ´k +a z b x k ´i +
a z
b y k ´j + a z b z k ´k .=( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k .
为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成
z
y x z
y x b b b a a a k
j i b a =⨯=a y b z i
a z
b x j a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i
=( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k ..
例4 设a =(2, 1, -1), b =(1, -1, 2),
计算a ´b .
解 2
111
12--=⨯k
j i b a 2i -j -2k -k -4j -i =i -5j -3k .
例5 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1,2,3)、B (3,4,5)、
C (2,4,7)，求三角形ABC 的面积.
解 根据向量积的定义，可知三角形ABC 的面积
→
→
zia→
→
||2
1sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆.
由于→
AB =(2,2,2),
→
AC =(1,2,4)，因此
→
→
4
212
22k j i =⨯AC AB =4i -6j +2k .
于是
142)6(42
1|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .
例6设刚体以等角速度w绕l轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.
解刚体绕l轴旋转时，我们可以用在l轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住l轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大姆指的指向就是的方向.
设点M到旋转轴l的距离为a ，再在l轴上任取一点O作向量r=→OM，并以q表示与r的夹角，那么
a=|r| sin q .
设线速度为v，那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知,v 的大小为
|v|=||a =|| |r| sin q ;
v的方向垂直于通过M点与l轴的平面，即v垂直于与r，又v 的指向是使、r、v符合右手规则.因此有
v=´r.
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）
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