二次函数图象的几何变换
知识点拨
一、二次函数图象的平移变换
（1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点，然后做出二次函数的图像，将抛物线平移，使其顶点平移到.具体平移方法如图所示：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换
    二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
    关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
  2. 关于轴对称
    关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
  3. 关于原点对称
    关于原点对称后，得到的解析式是；
    关于原点对称后，得到的解析式是；
  4. 关于顶点对称
    关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
  5. 关于点对称 
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
例题精讲
一、二次函数图象的平移变换
【例1】函数的图象可由函数便秘怎么办 如何快速排便的图象平移得到，那么平移的步骤是：（    ）
右移两个单位，下移一个单位        右移两个单位，上移一个单位
左移两个单位，下移一个单位        左移两个单位，上移一个单位
【例2】函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤
是（  ）
右移三个单位，下移四个单位      右移三个单位，上移四个单位
左移三个单位，下移四个单位      左移四个单位，上移四个单位
【例3】二次函数的图象如何移动就得到的图象（      ）
向左移动个单位，向上移动个单位. 向右移动个单位，向上移动个单位.
向左移动个单位，向下移动个单位. 向右移动个单位，向下移动个单位.
【例4】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为（  ）
A．    B．    C．    D． 
【例5】把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析式是，则________________．
【例6】对于每个非零自然数，抛物线与轴交于两点，以表示这两点间的距离，则的值是（    ）
A．    B．    C．        D．
【例7】把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为
A．        B．
C．        D．
【例8】将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线是（  ）
A．        B．        C．        D．
【例9】将抛物线向上平移个单位，得到抛物线的解析式是（    ）
                   
【例10】一抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后得抛物线，则平移前抛物线的解析式为________________．
【例11】已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式：　初家晴 煎熬
  （1）图象关于轴对称；（2）图象关于轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于轴的直线对称
【例12】如图，中，，点的坐标是，，以点为顶点的抛物线经过轴上的点，．
⑴ 求点，，的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．
【例13】抛物线与轴相交于点，且过点．
谦虚的成语>太多的理由太多的借口
⑴ 求的值和该抛物线顶点的坐标．
⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
二、二次函数图象的对称变换
【例14】函数与的图象关于______________对称，也可以认为
是函数的图象绕__________旋转得到．
【例15】已知二次函数，求：⑴关于轴对称的二次函数解析式；⑵关于轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．
【例16】在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为
A．        　B．
C．        　D．
【例17】已知二次函数的图象是．
⑴ 求关于成中心对称的图象的函数解析式；
⑵ 设曲线与轴的交点分别为，当陟怎么读时，求的值．
【例18】已知抛物线，求
⑴ 关于轴对称的抛物线的表达式；
⑵ 关于轴对称的抛物线的表达式；
⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．
【例19】设曲线为函数的图象，关于轴对称的曲线为，
关于轴对称的曲线为，则曲线的函数解析式为________________．
【例20】对于任意两个二次函数：，当时，
我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有，，记过三点的二次函数抛物线为“”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．
               
⑴ 若已知，（图1），请通过计算判断与是否为全等抛物线；
⑵ 在图2中，以三点为顶点，画出平行四边形．
① 若已知，求抛物线的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与全等的抛物线解析式．
② 若已知，当满足什么条件时，存在抛物线？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“”；若不存在，请说明理由．
金城武图片【例21】已知：抛物线．　试写出把抛物线向左平行移动个单位后，所得的新抛物线的解析式；以及关于轴对称的曲线的解析式．画出和的略图，
并求：
⑴ 的值什么范围，抛物线和都是下降的；
⑵ 的值在什么范围，曲线和围成一个封闭图形；
⑶ 求在和围成封闭图形上，平行于轴的线段的长度的最大值．