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2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前,考生务必用黑字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,广东2014高考则                        (  )
A.
B.
C.
D.
2.已知复数满足,则                                    (  )
A.
B.
C.
D.
3.若变量,满足约束条件且的最大值和最小值分别为和,则                                                            (  )
A.5
B.6
C.7
D.8
4.若实数满足,则曲线与曲线的        (  )
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
5.已知向量,则下列向量中与成夹角的是                    (  )
A.
B.
C.
D.
6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为                                                (  )
A.200,20
B.100,20
C.200,10
D.100,10
7.若空间中四条两两不同的直线,,,,满足,,,则下列结论一定正确的是                                                            (  )
A.
B.
C.与既不垂直也不平行
D.与的位置关系不确定
8.设集合,那么集合A中满足条件“”的元素个数为                    (  )
A.60
B.90
C.120
D.130
二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
（一）必做题（9～13题）
9.不等式的解集为    .
10.曲线在点处的切线方程为    .
11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为    .
12.在中,角,,所对应的边分别为,,,已知,
则    .
13.若等比数列的各项均为正数,且,则    .
（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线和的方程分别为和.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线和的交点的直角坐标为    .
15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形中,点在上且,与交于点,则    .
三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数,,且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若,,求.
17.（本小题满分13分）
随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]
(45,50]
（Ⅰ）确定样本频率分布表中,,和的值；
（Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；
（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.
18.（本小题满分13分）
如图,四边形为正方形,⊥平面,,于点,,交于点.
（Ⅰ）证明：⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分14分）
设数列的前项和为,满足,,且.
（Ⅰ）求,,的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆：的一个焦点为,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程.
21.（本小题满分14分）
设函数,其中.
（Ⅰ）求函数的定义域（用区间表示）；
（Ⅱ）讨论函数在上的单调性；
（Ⅲ）若,求上满足条件的的集合（用区间表示）.

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【解析】因为，，所以.
【提示】根据集合的基本运算即可求解.
【考点】并集及其运算
2.【答案】D
【解析】，故选D.
【提示】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，计算求得的值.
【考点】复数的四则运算
3.【答案】B
【解析】画出可行域，如图所示.由图可知在点处目标函数分别取得最大值，在点处目标函数分别取得最小值，则，故选B.
【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，进行平移即可得到结论.
【考点】简单的线性规划
4.【答案】A
【解析】，，，从而可知两曲线为双曲线.
又，故两双曲线的焦距相等，故选A.
【提示】根据的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及的大小关系即可得到结论.
【考点】双曲线的简单几何性质
5.【答案】B
【解析】A.，不满足条件.
B.，满足条件.
C.不满足条件.
D.不满足条件.
故选.
【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.
【考点】数量积表示两个向量的夹角
6.【答案】A
【解析】由图1可得出样本容量为.
抽取的高中生近视人数为，故选A.
【提示】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.