2022-2023学年湖南省衡阳市常宁市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案）
1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2
3．（3分）如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（ ）
A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝1
5．（3分）一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（3分）在直角三角形中，两条直角边长分别为5，12，则斜边上的中线长为（ ）
A．13 B．12 C．6.5 D．6
7．（3分）如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（ ）
A．28° B．32° C．42° D．52°
8．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
9．（3分）如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2；
④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（ ）
A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m
11．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面的概率
B．任意写一个正整数，它能被3整除的概率
C．从一装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
D．掷一枚正方体的骰子，出现6点的概率
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，⋯，按此作法进行下去，则点P2022的坐标为（ ）
A．（1012，1012） B．（2011，2011）
C．（2012，2012） D．（1011，1011）
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．（3分）若（m+1）xm（m﹣1）+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
15．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3＝0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2＝5，那么b的值为 ．
16．（3分）已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若，AD＝15，则DO的长为 ．
17．（3分）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝米，背水坡CD的坡度i＝1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．
18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分别是AB、AC的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t＝ 时，△PQF为等腰三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（8分）解方程：x2﹣2x＝4．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
22．（8分）2022年冬奥会和残奥会相继在北京举行，两场体育盛会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大众喜爱，甚至多地出现“一墩难求”的现象．某玩具超市趁机推出吉祥物
盲盒让顾客随机购买，小丽到盲盒区时仅剩最后四个盲盒，它们的形状外观大小完全一样，已知四个盲盒中有两个装有冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶（记作A1，A2），有一个装有残奥会吉祥物“雪容融”玩偶（记作B），还有一个装有虎年特制的小老虎玩偶（记作C）．
（1）随机购买一个盲盒，恰好买到“冰墩墩”玩偶的概率是 ．
（2）请利用树状图或列表法，求小丽购买其中两个盲盒，里面恰好是一个“冰墩墩”玩偶和一个“雪容融”玩偶的概率．
23．（8分）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．
（1）下列属于和谐方程的是 ；
①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．
（2）求证：和谐方程总有实数根；
（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实
数根，求a，c的数量关系．
24．（8分）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背和脚托CD可分别绕点B、C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．（参考数据：≈1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）
（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数；
（2）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A、D'之间的水平距离（精确到个位）．
25．（8分）在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DCF∽△CEB；
（2）若BC＝4，CE＝3，tan∠CDF＝，求线段BE的长．
26．（10分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
（1）已知△ABC是比例三角形AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；
（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC＝90°时，求做小盲盒的值．
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