重庆南开中学高2023届高三“二诊模拟卷”
数学2
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷.上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合{}{}2
|1ln 2,N |8120A x x B x x x =<<=∈-+≤，则A B = （
）
A ．{}
2
|2e
x x ≤<B ．{}|e 6x x <≤C ．{}4,5D ．{}
3,4,5,62．已知复数2i z =-，实数,a b 满足50a
z b z
+
+=，则a b +=（）A ．3-B ．3C ．5D ．5-3．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈
的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之
积等于1
3-，则椭圆的离心率为（）
A ．13
B ．23
C ．33
D ．
63
4．已知21,e e      为平面内所有向量的一组基底，121R,,2a e e b e λλ∈=+=
，则a  与b  共线的条件为（
）
A ．20
e =  B ．0
λ=C ．12//e e      D ．12//e e
或0
λ=5．衣柜里有灰，白，黑，蓝四双不同颜的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（）
A ．
25
B ．
45
C ．
815
D ．
8
96．已知a ＝（1+tan21°）（1+tan22°），b ＝（1+tan23°）（1+tan24°），则（）A ．a ＝b ＝2B ．ab ＝4C ．a 2+b 2＝9D ．a 2＝b 2﹣27．图1所示礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长
方体1111ABCD A B C D -的上底面1111D C B A 绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCD EFGH -．已知2AB AD ==，
7AE =，
()
221DC DP =+        ，过直线EP 作平面α，则十面体ABCD EFGH -外接球被平面α所截的截面圆面积的最小
值是（）A ．
()5132248
π
-B ．
()5132212
π
-C ．
()8156248
π
+D ．
()8156212
π
+
做小盲盒8．已知()()ln e ln 10,x
x x x λλ∞-≤--∈+，恒成立，则λ的取值范围是（
）
A ．[)1e,-+∞
B ．[)1e,1-
C ．[)e 2,1-
D ．[)
0,1二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为27
，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为1
2，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13
．记玩家第n 次抽盲盒，抽中奖品的概率为n P ，则
（）
A ．21942P =
B ．数列37n P ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭为等比数列
C ．1942
n P ≤
D ．当2n ≥时，n 越大，n P 越小
10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，P 为MN 的中点，则下列说法正确的是（）
A ．||MN 的最小值为4
B ．||||MF NF ⋅的最大值为4
C ．当||||PF NF =时，||8
MN =D ．当4||3
PF =
时，16||3MN =
11．勒洛Franz Reuleaux （1829～1905），德国机械
工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样
来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）
A ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2
B ．勒洛四面体被平面AB
C 截得的截面面积是(2πC ．勒洛四面体表面上交线AC 的长度为
2π3
D ．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2
12．已知0ab ≠，函数()2
e ax
f x x bx =++，则（
）
A ．对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点
B ．对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条
C ．当2a b +=-时，()f x 存在零点
D ．当0a b +>时，()f x 的最小值为1
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．设某车间的A 类零件的厚度L （单位：mm ）服从正态分布2(16,)N σ，且(1618)0.3P L <<=．若从A 类零件中随机选取100个，则零件厚度小于14mm 的个数的方差为______．
14．点M 是双曲线2
2
14
y x -=渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2+y 2-4x +3=0相切，则圆M 的半径的
最小值等于________.
15．已知2
3:2
C y x =，过点()1,0P 倾斜角为60 的直线l 交C 于A 、B 两点（A 在第一象限内），过点A 作A
D x
⊥轴，垂足为D ，现将C 所在平面以x 轴为翻折轴向纸面外翻折，使得2π
3
x x ∠-=上平面下平面，则几何体PABD 外接球的表面积为______．16．已知双曲线C 的方程
22
1169
x y -=，其左､右焦点分别是12,F F ，已知点P 坐标为()4,2，双曲线C 上点()()0000,0,0Q x y x y >>满足1211
2111QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=                          ，设12
QF F  的内切圆半径为r ．则r =__________；12F PQ F PQ S S -=△△__________．
四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，n T 是等比数列{}n b 的前n 项和，且10a =，11b =，223344S T S T S T +=+=+．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)设211n
n n i c a n ==⋅∑，求数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和n P ．
18．(本小题满分12分)
已知函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝
⎭在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值为3．
(1)求使()0f x ≥成立的x 的取值集合；
(2)将函数()f x 图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数()g x 的图象，若12ππ,,62x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，且()()12g x g x =，求222x x g +⎛⎫ ⎪⎝⎭的值．
19．(本小题满分12分)
2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯．
(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为1
2，求预测正确的人数X 的分布列和期望；
(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接
球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n 次传球之前球在梅西脚下的概率为n P ，求n P ．
20．(本小题满分12分)
某公园有两块三角形草坪，准备修建三角形道路（不计道路宽度），道路三角形的顶点分别在草坪三角形的三条边上．
(1)第一块草坪的三条边80AB =米，70AC =米，50BC =米，若34EF BA =
，ED AB ⊥（如图），DEF  区域内
种植郁金香，求郁金香种植面积．
(2)第二块草坪的三条边60PQ =米，80QR =米，100PR =米，M 为PQ 中点，MN MK ⊥（如图），MNK △区域内种植紫罗兰，求紫罗兰种植面积的最小值．
21．(本小题满分12分)
已知点1F 、2F 分别为椭圆2
2:
12
x y Γ+=的左、右焦点，直线:l y kx t =+与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线1F M l ⊥，
2F N l ⊥，垂足分别为点M 、N ．
(1)求证：2221t k =+；
(2)求证：12F M F N ⋅
为定值，并求出该定值；
(3)求当OM ON OM ON +⋅-
取得最大值时，四边形12F F NM 的面积．
22．(本小题满分12分)已知函数()1
ln 1
x f x a x x -=-
+．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
(2)若()()()
()2
2
ln 110g x a x x x a =---≠有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<．
（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：()()133122a x x -++<．
答案
一、单项选择题：1~8DADB DBCB
二、多项选择题：9~12ABC AD ABD ABD 三、填空题：13．1614
．
15
-15．13π16．28
四、解答题：
17．（1）因为223344S T S T S T +=+=+，所以3232434300S S T T S S T T -+-=⎧⎨-+-=⎩即33440
0a b a b +=⎧⎨+=⎩，即23
2030d q d q ⎧+=⎨+=⎩，因为0q ≠，解得32q =，98d =-．所以9(1)8n a n =--，1
32n n b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
．
（2）由（1）知9
(1)8n a n =-得221
99(121)9[135(21)]8828n
n i n n a n n =+-=++++-=⨯
=∑ ，所以21
19
8n n n n c a n n ===∑．因此11648l (1)n n c c n n +⋅=+，
所以64111811223(1)n P n n ⎡⎤=
⨯++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦
641111164181223181(1)n n n n ⎛⎫=⨯-+-++-= ⎪
++⎝⎭ ．18．（1）因为π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]6πx ⎛⎫+∈- ⎪⎝
⎭，
所以π2sin 21[,3]6x m m m ⎛⎫+++∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝
⎭在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，所以
33+=m ，解得0m =，
所以π()2sin 216f x x ⎛
⎫=+
+ ⎪⎝
⎭，由()0f x ≥，可得π1sin 262x ⎛
⎫+≥- ⎪
⎝⎭，故ππ7π2π22π,Z 66
6k x k k -+≤+≤
∈，解得ππ
ππ,Z 62
k x k k -+≤≤+∈，故使()0f x ≥成立的x 的取值集合为ππ
ππ,Z 62x k x k k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
；
（2）将函数()f x 图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得π2sin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
再向右平移一个单位长度，可得()()π2sin 216g x x ⎡
⎤=-+⎢⎥⎣
⎦，
因为ππ,62x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()ππ7π212,2666x ⎛⎫
-+∈-- ⎪⎝⎭
，
令()ππ21π,62x k k -+=+∈Z ，得ππ1,62k x k =++∈Z ，
令1k =-，可得π13x =-，故()()π2sin 216g x x ⎡
⎤=-+⎢⎥⎣
⎦在ππ,62x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的对称轴为π13x =-，
因为()()12g x g x =，所以12π123x x =-+，所以12ππ2sin 2112236x x g ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
+.令0k =，可得π16x =+
，故()()π2sin 216g x x ⎡
⎤=-+⎢⎥⎣
⎦在ππ,62x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
上的对称轴为π16x =+．因为()()12g x g x =，所以
12π126x x +=+．所以12
ππ2sin 2112266x x
g +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，综上，222x x g +⎛⎫
⎪⎝⎭的值为2±．