2021年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1、z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m的取值范围是(    )
A．(–3,1)      B．(–1,3)        C．(1,+∞)      D．(–∞,–3)
2、集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，那么A∪B=(    )
A．{1}          B．{1,2}          C．{0,1,2,3}      D．{–1,0,1,2,3}
3、向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，那么m=(    )
A．–8          B．–6            C．6          D．8
4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的间隔 为1，那么a=(    )
A．–          B．–            C．          D．2
5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可以选择的最短途径条数为(    )
A．24          B．18            C．12          D．9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的外表积为(    )
A．20π          B．24π          C．28π          D．32π
7、假设将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，那么平移后图象的对称轴为(    )
A．x=–(k∈Z)      B．x=+(k∈Z)      C．x=–(k∈Z)    D．x=+(k∈Z)
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，假设输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，那么输出的s=(    )
A．7            B．12            C．17            D．34
9、假设cos(–α)=，那么sin2α= (    )
A．          B．            C．–高考考哪几科            D．–
10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，那么用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(    )
A．          B．            C．          D．
11、F1、F2是双曲线E：–=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=,那么E的离心率为(    )
A．            B．            C．          D．2
12、函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，假设函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，...(xm,ym)，那么(    )
A．0              B．m          C．2m          D．4m
二、填空题：本大题共4小题，每题5分
13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设cosA=，cosC=，a=1，那么b=___________．
14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有以下四个命题：
(1)假如m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。    (2)假如m⊥α，n∥α，那么m⊥n。
(3)假如α∥β，m⊂α，那么m∥β。
(4)假如m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上一样的数字不是2〞，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上一样的数字不是1〞，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5〞，那么甲的卡片上的数字是____________．
16、假设直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，那么b=__________．
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(此题总分值12分)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28。记bn=[lgan]，其
中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
18、(此题总分值12分)某险种的根本保费为a(单位：元)，继续购置该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0. 05
(1)求一续保人本年度的保费高于根本保费的概率；
(2)假设一续保人本年度的保费高于根本保费，求其保费比根本保费高出60%的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与根本保费的比值．
19、(本小题总分值12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=．
(1)证明：D'H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B–D'A–C的正弦值．
20、(本小题总分值12分)椭圆E：+=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
21、(本小题总分值12分)(1)讨论函数f(x)=ex的单调性，并证明当x>0时，(x–2)ex+x+2>0；
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、(本小题总分值10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在
边DA，DC上(不与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
(1) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)假设AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23、(本小题总分值10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25．
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|=，求l的斜率．
24、(本小题总分值10分)[选修4–5：不等式选讲]函数f(x)=|x–|+|x+|，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．
参考答案
1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–3<m<1，应选A．
2、解析：B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}={x|–1<x<2，x∈Z}，∴B={0,1}，∴A∪B={0,1,2,3}，应选C．
3、解析： 向量a+b=(4,m–2)，∵(a+b)⊥b，∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0，解得m=8，应选D．
4、解析：圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)2+(y–4)2=4，故圆心为(1,4)，d==1，解得a=–，应选A．
5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，应选B．
解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C条路，再从F处到G处最短共有C条路，那么小明到老年公寓可以选择的最短途径条数为C·C=18条，应选B。
6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．
由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：l==4，S表=πr2+ch+cl=4π+16π+8π=28π，应选C．