2024学年山西省吕梁育星中学高三数学第一学期期末达标检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（    ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于3
2
x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 2．记集合(){}
2
2,16A x y x
y =
+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω，若在区
域1Ω内任取一点，则该点落在区域2Ω的概率为(    )
A ．
14π
B ．1
π
C ．
12π
D ．
2
4ππ
- 3．已知x 与y 之间的一组数据：
x
1    2    3    4 y
m
3.2
4.8
7.5
若y 关于x 的线性回归方程为  2.10.25y x =-，则m 的值为（    ） A ．1.5
B ．2.5
C ．3.5
D ．4.5
4．设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q
两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2
D ．5
5．若直线不平行于平面，且，则（  ）
A ．内所有直线与异面
B ．内只存在有限条直线与共面
C ．内存在唯一的直线与平行
D ．内存在无数条直线与相交
6．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：
π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
，根据该公式绘制出了估
计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的  2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是公比为1
3的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（    ）
A ．(1,2)
B ．(0,3)
多一点就不准
C ．(0,2)
D ．(0,1)
8．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有
()()1212
0f x f x x x -<-成立，
若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]
1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（  ） A ．1
ln6,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
B ．1
ln3,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
C ．1
ln3,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
D ．1
ln6,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
9．已知集合{}0,1,2,3A =，}{
2
1,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（    ） A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
10．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2}    B ．{x|1＜x ＜2}    C ．{x|1≤x≤2}    D ．∅ 11．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12
x π
=
，将函数()f x 的图象向右平行移动
4
π
个单位长度
后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（    ） A ．()2sin(2)12
g x x π
=- B ．()2sin(2)12
g x x π
=+
C ．()2sin(2)6
g x x π
=-
D ．()2sin(2)6
g x x π
=+
12．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪⎝
⎭在,32ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围（    ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．2,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，直线l 是曲线()y f x =在3x =处的切线，则(3)f '=________.
14．若5
2ax x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为240，则实数a 的值为________. 15．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，若2
112n
n n n
a a a a ++=-，11a =，则7S =________.
16．已知抛物线2
1:4
C y x =
的焦点为F ，其准线与坐标轴交于点E ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A B 、两点，若32EF EA EB =+，则直线l 的斜率k =________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y α
α=+⎧⎨
=⎩
(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设1m ，过点(,0)m 的直线l 与圆22:1P x y +=相切，且与抛物线2
:2Q y x
=相交于,A B 两点．
（1）当m 在区间[1,)+∞上变动时，求AB 中点的轨迹；
（2）设抛物线焦点为F ，求ABF 的周长(用m 表示)，并写出2m =时该周长的具体取值．
19．（12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均
值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求μ，σ的值（μ，σ的值四舍五入取整数），并计算(5193)P X <<； （2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为
2
3，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13
.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额. （参考数据：()0.6827P X μδμδ-<≤+≈；(22)0.9545P X μδμδ-<≤+≈；
(33)0.9973P X μδμδ-<≤+≈.）
20．（12分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为
22cos
2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），直线l 经过点(1,M --且倾斜角为α. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；
（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.
21．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；
（2）若从这80个零件中尺寸位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[]64.5,65上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ；
（3）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每
箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为AD 、PD 的中点．
（1）求证：//PA 平面MNC ；
（2）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值．