第29卷第10期 岩 土 力 学 V ol.29 No.10 2008年10月 Rock and Soil Mechanics Oct. 2008
收稿日期：2007-06-15
作者简介：钟阳，男，1955年生，博士，教授，主要从事路面分析工作。E-mail:*******************
文章编号：1000－7598－(2008) 10－2829－04
钟 阳，耿立涛
（大连理工大学 土木学院，大连 116024）
摘 要：从平面弹性力学的基本方程出发，利用Fourier 积分变换等数学手段，推导出了单层平面问题的刚度矩阵，然后按有限元法组成总体刚度矩阵。通过求解由总体刚度矩阵所构成的代数方程和Fourier 积分逆变换，得到在任意静荷载作用下多层弹性平面问题的精确解。由于刚度矩阵不含有正指数项，计算时不会出现溢出现象，从而克服了传递矩阵法的缺点。推导过程中摒弃了应力函数的选择，使得问题的求解更加合理化，同时也为进一步研究此类问题如温度场、动力学等奠定了理论基础。计算实例证明了推导结果的准确性。
关 键 词：多层弹性平面问题；刚度矩阵；Fourier 积分变换 中图分类号：O 343.1 文献标识码：A
Explicit solution of multiplayer elastic plane by exact stiffness matrix method
ZHONG Yang, Geng Li-tao
(Department of Civil Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)
Abstract: Exact solution of multilayer elastic plane in a rectangular coordinate system is obtained on the basis of Fourier integral transformation and stiffness matrix method. Stiffness matrix for monolayer derived firstly based on the fundamental elasticity equations and some mathematic methods such as Fourier integral transformation. And then the stiffness matrix is established for multilayer elastic plane, using the finite element concepts in which layers are completely contacted. Therefore, exact solution of multilayer elastic plane is obtained from the solution of algebra equation formed by stiffness matrix and inverse Fourier integral transformation. Due to the element of matrix is not included positive exponential function, the calculation is not overflowed. The shortages of transfer matrix method are overcome. This method is clear in concept, and the corresponding formulas are given not only simple but also convenient for application. More important thing is the me
thod can be used to solve other problems for multilayered elastic plane, such as thermo field and dynamics. A numerical example is presented to prove the correction of calculated results. Key words: multilayered elastic plane; stiffness matrix; Fourier integral transform
1 引 言
在高速公路的路面、铁路的路基以及建筑物地基的计算中，通常是以多层弹性平面问题的理论解为依椐的。针对这一工程实际问题，国内外的学者做了大量的研究工作，并提出了许多求解方法。如应力函数法[1]，传递矩阵法[2, 3]。这些成果大多数是用状态空间法求解多层半空间轴对称问题，如文献[4]。对于空间非轴对称问题，文献[5]利用Hankle 积分变换在柱坐标系下给出了一般求解方法。文献[6]在这方面也做了有益工作。但是，求解的问题都仅局限于空间轴对称问题，这是因为空间轴对称问题的基本方程通过Hankle 积分变换可以很容易地
被转换成为状态方程，而弹性力学中一般空间问题的基本方程，在直角坐标系下采用Hankle 积分变换则无法实现上述转换。文献[7]利用传递矩阵法，求解了在直角坐标系下层状地基的非轴对称问题。上述这些方法的主要缺点是在解的公式中含有正指数项，计算时经常会出现溢出现象，从而导致计算失败。本文直接从弹性力学平面问题的基本方程出发，利用二维Fourier 积分变换，首先推导出了单层弹性平面问题的刚度矩阵，然后按有限元法组成总体刚度矩阵，通过求解由总体刚度矩阵所构成的代数
方程就可求出荷载作用下多层弹性平面问题的精确解。由于刚度矩阵只含有负指数项，计算时不会出现溢出或病态矩阵现象，所以利用这种方法的计算
岩 土 力 学 2008年
非常稳定。最后，文中还给出了计算实例来证明推导结果的正确性。
2 刚度矩阵的推导
不计体力时，弹性平面问题的静平衡方程为
00 xy
x xy y
x y x y τστσ∂⎫∂+=⎪∂∂⎪
⎬∂∂⎪
+=⎪∂∂⎭
（1）
用位移表示的物理方程式为
(2)(2) x y xy u v G x y v u G y x u v G y x σλλσλλτ⎫
∂∂=++⎪
∂∂⎪
⎪
∂∂⎪
=++⎬∂∂⎪
⎪
⎛⎫∂∂⎪=+ ⎪
⎪∂∂⎝⎭⎭
（2）
式中：2/(12)G λμμ=-；/2(1)G E μ=+为剪切弹性模量，其中E 为弹性模量，μ为泊松比。 由式（1）中的第2式、式（2）中的第1式以
及式（1）中的第1式可得到
22
2(2) y
xy
xy y x u v G y x x y σττλλ∂∂⎫
=-⎪∂∂⎪
⎬∂∂∂⎪
=-+-⎪∂∂∂∂⎭
（3） 再将式（2）中的第2式对x 求偏导，则有
222(2)y
v u
G x x y x
σλλ∂∂∂=++∂∂∂∂ （4） 联立式（3）和式（4）可得 22
4()22xy
y G G u
y G x G x τσλλλλ∂∂+∂=--∂+∂+∂ （5） 由式（2）中的第2式和第3式，则可得
(2)(2)xy y u v
y G x v u y G G x τσλλλ⎫∂∂=-⎪∂∂⎪
⎬∂∂⎪=-⎪∂++∂⎭
（6）
根据富里叶积分变换的定义，对于任意的一维函数()f x 的富里叶正变换和逆变换分别为
()()e d 1())e d (2π)i x i x
f f x x f x f ξξξξξ∞
-∞∞--∞
⎫
=⎪⎪
⎬⎪
=⎪⎭
⎰⎰ （7）
对式（3），式（5）和式（6）施加富里叶变换
并表示为矩阵形式：
{}[]{d
d X B X y
= （8）
式中：[]22
000/(1)0(1)002(1)/0(1)(12)/(1)
0/(1)0B E E E ξξμμξμμξμμμμξμ=
-⎡
⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢
⎥+----⎣⎦
； {}T
y xy X i u iv στ=⎡⎤⎣⎦ 。
根据现代控制理论[11]，式（8）的解如下：
{}[]{}[]{}0
e B y
X X Q X == （9）
式中：{}T
0(,0)(,0)(,0)(,0)y xy X i u iv σζτζζζ=⎡⎤⎣⎦ 。
上式中的指数矩阵[]e B y 称为平面问题传递矩阵，根
据线性代数知识[6]可知，由方阵[]B 特征方程可得
222()0B λζ-= （10）
根据凯莱-哈密顿定理[6]，为满足其特征方程，方阵[]B 必须有
23
01232
123e e 23B B y B B B y B B b b b b y b b b λλλλλλλ⎫=+++⎪
⎬=++⎪⎭
（11） 若将B λζ=±代入式（11），就可以解出系数i
b （03i =⋅⋅⋅），将其代入式（9）就可得到传递矩阵的表达式。再将其代入（11）式可得到
[]111213142122231331
32
221241
31
21
11(,)(,)(,)(,)(,0)(,0)(,0)(,0)(,0)(,0)(,0)(,0)y xy y y xy xy i y y u y iv y i Q Q Q Q i Q Q Q Q Q u Q Q Q Q u iv Q Q Q Q iv σ
ζτζζζσ
ξσξτξτξξξξξ⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
⎧⎫⎡⎤⎧⎪⎪⎢⎥⎪-⎪⎪⎪⎢⎥⎨⎬
⎨⎢⎥-⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪
--⎩⎭⎣⎦⎩ ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
（12）
其中：
11/2(1)Q ch y ysh y ξξξμ=+-； 12[(12)]/2(1)Q ych y sh y ξξμξμ=+--； 13(1)/2(1)Q ysh y E μξμ=+-；
[]14(1)(34)/2(1)Q ych y sh y E μξξμξξμ=++--；
21[(12)]/2(1)Q sh y ych y μξξξμ=---；
2830
第10期 钟 阳等：多层弹性平面问题解的精确刚度矩阵法
22[]2(1)Q ch y ysh y ξξξμ=--；
[]23(1)(34)/2(1)Q sh y ych y E μμξξξξμ=+---；
2413Q Q =-；2231/2(1)Q E ysh y E ξξμ=--； 3322Q Q =；3412Q Q =-；
241()/2(1)Q E ych y sh y ξξξξμ=+-；
4231Q Q =-；4321Q Q =-；4411Q Q =
为了得到刚度矩阵，把式（12）改写为
1234(,)(,)(,)(,)(,0)(,0)(,0)(,0)y xy y xy i h u
h h K K iv h i K K u iv σ
ξξτξξσξξτξξ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎪
⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
⎩⎭
（13）
其中： 1
33
341314143
4423
24Q Q Q Q K Q Q Q Q -⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 21
31323334131411124142434423242122K Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q -=
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦；
1
131432324Q Q K Q Q -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
； 113
141112423
2421
22Q Q Q Q K Q Q Q Q -⎡⎤⎡⎤
=-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。 由式（13）可知，方程的左端为应力的维富里叶积分变换式，右端为位移的富里叶积分变换式。类似于有限元的概念，式（13）可表示为
[]1112131411141311
1211(,)(,)(,)(,)(,0)(,0)(,0)(,0)(,)(,)2(,0)(,0)y xy y xy e
i h u
h h iv h K i u iv k k k k u h k k k iv h G k k u k iv
σξξτξξσξξτξξξξξξ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪--⎪⎪⎢⎥⎨⎬⎢⎥-∆⎪⎪⎢
⎥⎪⎪⎣⎦
⎩⎭ 对称
（14）
式中：[]K 为单一层的刚度矩阵，其中 111122(1)[4(1)(43)]k h A A A μξμ=-+--； 221211[4(1)(34)(12)]k h A A ξξμμ=-----；
132114(1)[(1)(1)(43)]k hA h A A μξμ=-++--； 214214(1)(1)k h A A ξμ=--；
222114(1)(43)h A A ξμ∆=---； 21e h A ξ-=；2e h A ξ-=。
对于层间完全接触条件，利用有限元的方法，根据式（14）可以建立如图1所示的多层弹性平面
王凯体的总刚度矩阵为 12
1
(,0)(,0)(,0)(,0)(,)0(,)0xy y N N N N u K w K K u h K w h ξτξξσξξξ-⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪
⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⋅⋅⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⋅⋅⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣
⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
（15）
N K 为弹性平面半空间的刚度矩阵。弹性平面半空
间问题的边界条件：在y →∞处有
lim , , 0y xy y i u iv στ→∞
= （16）
由于传递矩阵的元素均含有正指数项。显然与边界条件式（16）不符，删除其中所含有的正指数
项后，就可以得到弹性平面半空间的刚度矩阵：
214(1)4(1)21(1)N N N N
N N N E K μμμμμξ
--⎡⎤
=
⎢⎥--+⎣⎦
（17）
求解方程式（15）就可求出任意深度处的状态向量，对状态向量进行富里叶积分逆变换就可以得
出真实问题的解析解。如图1所示，对于条形均布荷载，可以表示为
(,)()p x y q
a x a =-≤≤ （18）
图1 多层弹性平面体
Fig.1 Multilayer elastic plane
根据表面0y =处的边界条件并对施加富里叶积分变换可以得
(,0)0
(,0)2/sin /2 xy y q a a τξσξξξ=⎫⎪
⎬=⎪⎭
（19）
E N μN
E i μi h i
E 1 μ1 h 1
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岩 土 力 学 2008年
3 计算实例
为了验证本解答的正确性，按本文方法计算了文献[3]中的算例。在计算中把圆形荷载按面积等效
原则换算成正方形荷载，并令：0
i
i
z z q σσ=，i
rz τ=
0i
rz q τ，02/i i i u q u E δ=，02/i i i w q w E δ=，i 代表第i 层。
计算中取3N =，120.2E E =，130.1E E =，1h δ=，2h =2δ，120.25μμ==，30.35μ=。计算结果列
于表1中。表1中结果比较表明，本文方法可行。
表1 计算结果
Table 1 Results
0 0 1 -1.000 -1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 7.090 7.090 1 0 1 -0.500 -0.500 0.000 0.000 -0.417 -0.417 6.45 6.46 0 1 1 -0.388 -0.388 0.000 0.000 0.000 0.000 6.82 6.81 0
1
2
-0.388
-0.388
0.000
0.000
0.000
0.000
1.362
1.361
4 结 语
本文利用刚度矩阵法推导了直角坐标系下多层弹性平面问题在静荷载作用下，层间完全接触情况的解析解。
由于本文刚度矩阵的元素中只含有负指数项，计算时不会出现溢出或病态矩阵现象，所以利用这种方法的计算非常稳定。
参 考 文 献
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