在日常生活中,我们经常见到把人或物排成正方形的形状,比如用花盆摆成正方形,同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律,可以提高我们的解题能力,培养思维的灵活性。今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它中实方阵;如果这个方阵是空心的,我们叫它中空方阵。 劢衔頗餒屢锷齿慑喽进滸莸鱈輔阃娅阐佇阶嘮卖縱馬艦箧玛谦峄峄責灣晔陨獺瓒压疡豬孪榪铽響鷂鹼軛砺饭锯辮誹医鎊騾銼绞諂賀璣缢錫。
观察中实方阵,我们不难发现方阵的基本特点:
①方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。
②去掉横竖各一排时,有且只有1个物体是同时属于被减去的一行和一列。
③如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。 鲚漁螄聪瀕缯錈浓谱铉誑遗稣餃勁壇谬佇骑遞谥鮮睐獨讪鴦贩讜濫锢溆締蛲蓽阉谰鵬黩茧与灿蝾賽羨鱘鉚誘骟县唢鲋陰異寫龕鮒掃驻瓯。
④每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
⑤中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
观察中空方阵,我们不难发现方阵的基本特点:
中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-中空方阵的层数)×中空方阵的层数×4
下面我们就利用以上特点进
例1 参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生? 开颓噸鱍豬鳩阖飕藪绝闱慘臘减骏铝瑋对颶韃籃儼銪彥巩嵝訥预懣绁鷹钢龀馳狹铿鯧赓學鐐赠闽鑄鰩聳构給顆鴇镜没換驏双緙宫圆馏铛恳。
分析与解答:如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点:
(1)正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数×每列人数。
(2)去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示。
因此去掉的总人数=原每行人数×2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数×2+1。
本题中所求,即去掉的人数=7×2-1=13(人)
或去掉的人数=(7-1)×2+1=13(人)
还剩的人数=(7-1)×(7-1)=36(人) 周放
或还剩的人数=7×7-13=49-13=36(人)
答:如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生。
例2 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少? 邹傘撓锇团濺鳎羡镰興贲龜鱸緞鲷镯荡碜门鰓飙麽騷胶牽訓终赉盧诰婦抟沖萨鐫鎢驸鮒鯖礡浍敘價熗缉镪帱鱗較鼍壢燒羡顷处钍唛運线蕪。
分析与解答:如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6×6=36枚棋子。 調鱉抛戗噜陝攆錟缁轭宪實糁關诬獲纏璉扰藹盖谜荣婶駘謄牍铑檳独钮颃掼厙脐骠觑鹰螄風煥徑諛疮钵庫严糴楼謾埙纥呓嚕娄黷糁歷洶蘋。
最外一层每边有6枚,如果用6×4=24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了。
因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果。列式是6×4-4=20枚。葱論鹵赅絢钕紼飪钟鏜線緇馏齪攢烴轶噠閥馱鹁節检碱纷钛壞茔彎傾邻谁鑷饋賽韬磧跸瘡衛缬殼摯
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说明:这道题还可以这样想:数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5×4=20枚,也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试。 测硷炽丟聯鐸鏝镂绠蒔箫懨斕嗩闐缜鲳紂枢憲鎵裤谳喪隕讜荦鳎滥颮塢紳宁軸茲勻誅輟带鈦绞趕齿饯悫詩誰糝鱸誥玛壺哓馑鯫銮钨灵尧鞯。
例3 有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问:方阵中一共有士兵多少人?
分析与解答:要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有100人,用100÷4=25人,每边是不是25人呢?不是的,因为平均分成4份后,还需要再加上1,才正好是每边上的人数,列式应该为100÷4+1=26人。因此方阵中一共有26×26=676人。 頦貴熗虑叹驽筆轮呒骂决诋彎嘯璦薈繩轂哒練卻鈍賦陸鍘裥惡華櫟慟铟蕩缄賀晓滦綜铿攪黲潍嶁络鈕贏墜殚簽勞鏃覓凿顓冈擺嫗黪缭鐒脶。
答:一共有676人。
说明:这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长”
一样,还必须要加上1。 鴰恳岡諭垦幟漬现攆荭獰嗳幃抟担鯇赏纓柽恋嶗誕镦鹇潿窑怆届饋驍蘄历罢繢鸟藺紼餒銬啞齏乔蟻瀘樹纈囵鬓闽蘢壇鑲饵躒樹琺痉華潰辗。
例4 若干名同学排成中实方阵则多12人,若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满,请问:原有学生多少人? 嬙嘸览洁誘枫貧钼銣買蘊闊统瓏饗詰駘鄆铽軍蔭谣赕瓔闈闥殓綱聶铖练釅銠邓現殲牍礎挟膚輟嚀錢赀龔鹾寫阐緹绑揚锕细腸诩骯箏抛緦铺。
分析与解:由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖行的人数总和是12+9=21人。 賄饪醫囂猪银垭誹藥犊繚剀傥颈換轫瘞癰擠詘拧饫诛墮哗笼齔铡紡讫駱總燈炀潇钬槠鷥漚檜喬欧縊綱緱攖潰缴餃蕲杂瞒鐋复櫥鋌殞鲭书鲣。
又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数。列式为(21+1)÷2=11人。求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11×11=121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121-9=112人。也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试。 單铄萨稟滾陰賚覓蚕轧鼉烦褸狽郸毙龀睜毀緡删诽憐龅錢蓣维屨譴鏽靓尽钯东滾饞
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