【高考地位】
反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.
【方法点评】
类型一 证明“至多”或“至少”问题
使用情景：证明“至多”或“至少”问题．
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例1. 若{正整数}，且。求证：或中至少有一个成立。
【答案】详见解析.
【变式演练1】(1)已知中至少有一个小于2。
（2）已知，求证：.
类型二 证明“不可能”问题
使用情景：证明“不可能”问题．
解题模板：第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例2.给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴．
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：要证明经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴，可以考虑假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．然后得出矛盾。
证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．设且．由，得，解得．与已知矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.
【点评】在证明不可能问题上，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反证法的难点
在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与已知相矛盾。
【变式演练2】（Ⅰ）求证：当时， ；
（Ⅱ）证明： 不可能是同一个等差数列中的三项.
类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题
使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题．
解题模板：第一步 首先假设命题不成立；
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；
第三步 最后得出结论.
例3.求证：方程的解是唯一的．
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：可以假设方程的解有两个，然后得出矛盾。
证明：由对数的定义易得，是这个方程的一个解．假设这个方程的解不是唯一的，它还有解，则．，则，即．①由假设，得，从而：当时，有；②当时，有．③
显然，②，③与①都矛盾，这说明假设不成立．所以原方程的解是唯一的.
【点评】有关存在性与唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法．“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”，“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”．有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，也可考虑应用反证法.
【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的假设为（）
A．自然数都是奇数
B．自然数都是偶数
C．自然数中至少有两个偶数
D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】D
考点：反证法.
【高考再现】
1. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D2018广东高考
【解析】
试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，
乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反，
丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反，
即乙、丁可以知道自己的成绩
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