万有引力定律及其应用专题
知识梳理
1．万有引力定律
3．万有引力定律应用解决天体、卫星运动问题
3．万有引力定律与牛顿运动定律相结合
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律
2．开普勒第二定律
对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。
3．开普勒第三定律
所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。若用a表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则（k是一个与行星无关的常量）。
▲疑难导析
1．开普勒第一定律告诉我们行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在它的一个焦点上由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道，而k值只与太阳有关，与行星无关。
2．开普勒定律的应用
（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为
（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为
，这时由行星决定，与卫星无关。
，这时由行星决定，与卫星无关。
当天体绕不同的中心星球运行时，中的值是不同的。
（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。
二、万有引力定律：（1687年）
适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）
▲疑难导析
重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。
如图所示，产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于，随纬度的增大而减小，所以物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大；但一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，即常用来计算星球表面的重力加速度。
在地球同一纬度处，g随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即。
说明：和万有引力常量不仅适用于地球也适用于其他星球。
在赤道处，物体的分解的两个分力和mg刚好在一条直线上，则有。
三、万有引力定律的应用
1．解题的相关知识：
（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：
一、天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即＝；
二、地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg从而得出GM＝Rg（黄金变换）
（2）圆周运动的有关公式：＝，v=r。
讨论：
由可得： r越大，v越小。
由可得： r越大，ω越小。
由可得： r越大，T越大。
由可得： r越大，a向越小。
点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。
2．常见题型
万有引力定律的应用主要涉及几个方面：
（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）
由 得
又 得
（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）
表面重力加速度：
轨道重力加速度：（gh应理解成向心加速度）
（3）人造卫星、宇宙速度：
人造卫星分类（略）：其中重点了解同步卫星
宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与发卫星发射速度的区别）
（4）双星问题：
（5）有关航天问题的分析：
（6）天体问题为背景的信息给予题
开普勒定律
例1．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：（ ）
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星的运动周期越长
D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
1．海王星与太阳的平均距离约为地球与太阳平均距离的30倍，地球公转周期是3.16×107 s，那么海王星绕太阳运行的周期约为 s．
2．宇宙飞船进入一个围绕太阳运动的近乎圆形的轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）
A．3年 B．9年 C．27年 D．81年
万有引力定律
例１．对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力表达式为F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的而不是人为规定的
B．当两物体的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．相互作用的两个物体，质量大的物体受到的引力较大，质量小的物体受到的引力较小
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
１．地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力
和月球对它的引力大小相等时，这飞行器距离地心的距离与距离月心的距离之比为( )．
A．1∶9 B．9∶1 C．1∶27 D．27∶1
2．下列说法中正确的是( )（双选）
A．质量为m的物体在地球上任何地方其重力均相等
B．把质量为m的物体从地面移到高空上，其重力变小了
C．同一物体在赤道处的重力比在两极处的重力大
D．同一物体在任何地方其质量都是相同的
3．下列说法符合事实的是( )
A． 牛顿发现了行星的运动规律
B． 开普勒发现了万有引力定律
Ｃ．卡文迪许第一次在实验室测出了万有引力常量
Ｄ．人造地球同步卫星的周期与地球自转周期
４．在轨道上运行的人造卫星，如天线突然脱落，则天线将（ ）
A． 做自由落体运动 Ｂ．做平抛运动
Ｃ．和卫星一起在同一轨道上绕地球运动 Ｄ．由于惯性沿轨道切线方向做直线运动
５．根据观测，某行星外围有一个模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星，又测出了环中各层的线速度V的大小与该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是（ ）（双选）
A．若V与R成正比，则环是连续物
B．若V与R成反比，则环是连续物
C．若V2与R成正比，则环是卫星
D．若V2与R成反比，则环是卫星
万有引力定律应用
例１．把太阳系各行星运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳越近的行星( )．
A．周期越小 B．线速度越小 C．角速度越小 D．加速度越小
１．设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面越高，则卫星的( )．
A．线速度越大 B．角速度越大 C．向心加速度越大 D．周期越长
２．两颗小行星都绕太阳做圆周运动，它们的周期分别是T和3T，则：（ ）
A．它们绕太阳运动的轨道半径之比为1∶3
B．它们绕太阳运动的轨道半径之比为1∶
C．它们绕太阳运动的速度之比为∶1
D．它们受太阳的引力之比为9∶
３．下列说法正确的是：（ ）
A．因F=mω2r，人造卫星的轨道半径增大到2倍，向心力增大到2倍
B．因F=mv2/r，人造卫星的轨道半径增大到2倍，向心力减小为原来的1/2
C．因F=GMm/ r2，人造卫星的轨道半径增大到2倍，向心力减小为原来的1/4
D．仅知道卫星的轨道半径的变化，无法确定向心力的变化
４．根据观测，某行星外围有一个模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星，又测出了环中各层的线速度V的大小与该层至行星中心的距离R，以下判断中正确的是（ ）（双选）
A．若V与R成正比，则环是连续物 B．若V与R成反比，则环是连续物
C．若V2与R成正比，则环是卫星 D．若V2与R成反比，则环是卫星
５．我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一号”是极地圆形轨道卫星。其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步卫星。两颗卫
星相比 号离地面较高； 号观察范围较大； 号运行速度较大。若某天上午8点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是 。
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