社会经纬
2016年第12期
142
基于“月上柳梢头”的数学建模分析
刘 云
摘 要：本文从天文学的角度出发定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度，并确定黄昏后的时间，在简化天文知识的基础上构建数学模型，利用数学软件验证该模型的合理性，并依据模型来预测不同观测点、观测年份“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期时间。
关键词：月亮角度 月亮升降时刻 线形回归 excel 中图分类号：O211；F224.9；F270 文献标志码：A DOI: 10.16722/j.issn.1674-537X.2016.12.057一、前言
“月上柳梢头，人约黄昏后。”这句诗词出自于北宋学者欧阳修所写的《生查子．元夕》。前句诗代表时期，表明元宵节满月的象征，后句则代表时间。
图1 地图位置与时间关系图
当月球位于公转轨道的C 处时（图1），地球位于月、地之间，地球处于月球的向日一侧，因此，在地球上看到的是月球的整个亮面，月相表现为满月，时间为农历十五、十六。
二、模型的假设
根据“月上柳梢头，人约黄昏后”的意境，我们可以得到这一场景时间为正月十五（满月），由此我们假设当2015年9月11日8:00时，观测到的月相为满月。假设观测地的经度、纬度为：
，，每个月至少会出现一次满月的现象。为方便计算我们做一下符号假设：h：太阳平黄经ε：黄赤交角t J ：儒略日数T：儒略世纪数s：月亮的平黄经p：月亮在近地点的平黄经N：月亮升交点的平黄经m λ：月球的黄经m β：月球的黄纬λ：观测h：太阳平黄经ε：黄赤交角t J ：儒略日数T：儒略世纪数s：月亮的平黄经p：月亮在近地点的平黄经N：月亮升交点的平黄经m λ：
月球的黄经m β：月球的黄纬。
θ：观测点的地方恒星时α：地心天顶距φ：观测点的纬度λ：观测点的经度φ：观测点的纬度α：地心天顶距θ：观测点的地方恒星时。
三、模型的建立与求解
定义“月上柳梢头”是月亮在空中的角度为人的视线和地平面的夹角，如图2所示，∠1
为月亮在空中的角度。
图2 视线与地平面夹角图
设AC 是柳树， DE 是人， BC 是树影，BE 是人影，当人影和树影顶端完全重合时，则有如下算法：
有AC 和 DE 分别垂直于同一地面，得到∠2=∠3; RT 三角形BDE 与RT 三角形BAC 为相似三角形，由求得
月上柳梢头 人约黄昏后树高AC。
由勾股定理得：
为月
亮在空中的角度，经过实际测算，
有 “月上柳梢头”指的是月亮位于柳梢的正上方，即天顶距为90时会出现“月上柳梢头”的现象。“人约黄昏后”代指时刻为太阳刚落到地平面以下，即这句话表示的时刻为日落，又知农历十五时，月亮出来的时候太阳刚落山，所以“人约黄昏后”亦可看做月升（天顶距为0）建立模型如下：
儒略日数：（年—I，月—J,
日—K）
（1）
T 表示儒略世纪数，由儒略日数可得儒略世纪数:
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（2）
将(2)带入(3)，得到各项天文参数（某一观测点某一时刻太阳在空中的坐标在听文学中用天文参数表示），各项参数基本信息如下：
（3）
（4）
天文参数h ε
s p
N
名称太阳平黄经黄道与赤道的夹角
月亮的平黄经月亮在近地点的平黄经月亮升交点的平黄经
角速度
0.0410686°
0.5490165°
0.0046418°
0.0000020°
表
1 天文参数
（5）
（6）
3200002.000208.014201.193418328.259T T T °°°°++−=Ν
（7）
由（3）、（5）、（6），可求出计算时刻月球的黄经
)(m λ和黄纬)(m β
：
（8）
)
2sin(003024.0)sin(004847.0)2sin(004897.0)sin(089504.0N h s N p N p s s m +−×+−×+
+−×+Ν+×=β（9）
设θ为观测点的地方恒星时
（10）
我们采用观测点的地心天顶距α来表示月亮在某时刻相
对于某一点的位置，设观测点的经纬度为
，再将（4）、（8）、（9）、
（10）带入（11）
（11）
“月上柳梢头”发生的时间点为当天顶距为90度时的时间因此令（11）=1，可求出某时刻月亮相对于某一点的地心天顶
距
（12） “人约黄昏后”发生的时间点=当天顶距为0度时的时间因
此令（11）=0，可求出某时刻月亮相对于某一点的地心天顶距
（13）将（12）、（13）计算所得结果带入（10），可分别求出以山西太原为观测点时，“月上柳梢头”和“人约黄昏后”的
时刻。
四、小结
本文从天文学的角度出发定义“月上柳梢头”时月亮在空
中的角度，确定黄昏后的时间，在天文知识的基础上构建数学模型，利用数学软件验证该模型的合理性，并依据模型来预测不同观测点、观测年份“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日
期时间。
参考文献：
[1]许剑伟.天文算法[DB/OL].道客巴巴. www.doc88/p-699132039569.html(2015/9/14).
[2]万永革等.月亮高度及升降时刻与方位的计算[J].防灾技术高等专科学校学报,2003,5(3).
（作者单位：山西金融职业学院）
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