matlab的求导命令与求导法
技术专区 2009-03-10 16:19 阅读517 评论1 字号： 大大 中中 小小 １．matlab命令.
建立符号变量命令sym和syms调用格式:
x=sym('x')， 建立符号变量x；
syms x y z ， 建立多个符号变量x，y，z；
matlab求导命令diff调用格式:
diff(函数， n) ， 求的n阶导数(n是具体整数)；
diff(函数，变量名)， 求对的偏导数；
diff(函数， 变量名，n) ，求对的n阶偏导数；
matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式:
matlab求导
jacobian([函数；函数； 函数]， [])给出矩阵:
２．导数概念.
导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.
（１）点导数是一个极限值.
例1.设，用定义计算.
解：在某一点的导数定义为极限:
我们记，输入命令:
syms h；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0)
得结果:ans=１．可知
（２）导数的几何意义是曲线的切线斜率.
例2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.
解：在曲线上另取一点，则的方程是:
.即
取，分别作出几条割线.
h=[3，2，1，0.1，0.01]；a=(exp(h)-1)./h；x=-1:0.1:3；
plot(x，exp(x)，’r’)；hold on
for i=1:5；
plot(h(i)，exp(h(i))，’r.’)
plot(x，a(i)*x+1)
end
axis square
作出在处的切线
plot(x，x+1，’r’)
从图上看，随着与越来越接近，割线越来越接近曲线的割线．
３．求一元函数的导数.
（１）的一阶导数.
例3.求的导数.
解：打开matlab指令窗，输入指令:
dy_dx=diff(sin(x)/x).
得结果:
dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.
matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示
例4.求的导数.
解: 输入命令:
dy_dx=diff(log(sin(x))).
得结果:
dy_dx=cos(x)/sin(x).
在matlab中，函数用log(x)表示，而log10(x)表示
例5.求的导数.
解: 输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20).
得结果:
dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).
注意输入时应为2*x.
例6.求的导数.
解: 输入命令:
dy_dx=diff(x^x).
得结果:
dy_dx =x^x*(log(x)+1).
利用matlab 命令diff一次可以求出若干个函数的导数.
例7.求下列函数的导数:
1.
2.
3.
4.
解: 输入命令:
a=diff([sqrt(x^2- 2*x+5)，cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))，
log(log(x))]).
得结果:
a=
[1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)，
4^sin(x)*cos(x)*log(4)， 1/x/log(x)].
dy1_dx=a(1)
dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2).
dy2_dx=a(2)
dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x).
dy3_dx=a(3)
dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4).
dy4_dx=a(4)
dy4_dx=1/x/log(x).
由本例可以看出
，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个分量. （２）参数方程所确定的函数的导数.
设参数方程确定函数，则的导数
例8.设，求
解: 输入命令:
dx_dt=diff(a*(t-sin(t)))；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))；
dy_dx=dy_dt/dx_dt.
得结果:
dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).
其中分号的作用是不显示结果.
４．求多元函数的偏导数.
例9.设 求 u的一阶偏导数.
解: 输入命令:
diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2)， x).
得结果:
ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.
在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数:
ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.
也可以输入命令:
jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，[x y]).
得结果:
ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x， 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]
给出矩阵
例10.求下列函数的偏导数:
1.
2.
解: 输入命令:
diff(atan(y/x).
得结果:
ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2).
输入命令:
diff(atan(y/x)， y).
得结果:
ans=1/x/(1+y^2/x^2).
输入命令:
diff(x^y， x).
得结果:
ans=x^y*y/x.
输入命令:
diff(x^y， y).
得结果:
ans=x^y*log(x).
使用jacobian命令求偏导数更为方便.
输入命令:
jacobian([atan(y/x)，x^y]，[x，y]).
得结果:
ans=[ -y/x^2/(1+y^2/x^2)， 1/x/(1+y^2/x^2)]
[ x^y*y/x， x^y*log(x)].
５．求高阶导数或高阶偏导数.
例11.设 ，求.
解：输入指令:
diff(x^2*exp(2*x)，x，20).
得结果:
ans =
99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x^2*exp(2*x)
例3.12.设，求,,
解：输入命令:
diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，2)
可得到:
ans=30*x^4+4*y^2.
将命令中最后一个x换为y得:
ans=-36*y^2+4*x^2.
输入命令:
diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x)，y)
可得:
ans=8*x*y
同学们可自己计算比较它们的结果.
注意命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，y)，是对y求偏导数，不是求
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