MATLAB在高等数学中的应用文献综述
文献综述
MATLAB在高等数学中的应用
一、前言部分
MATLAB是Matrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写，是一种广泛应用于工程计算及数值分析领域的新型高级语言，是一种具有广泛应用前景的全新的计算机高级编程语言，有人称它为“第四代”计算机语言。它可以进行矩阵运算、数据可视化、实验算法、创建用户界面、连接其他编程语言程序等，它起源于矩阵计算，并提供强大的科学运算、灵活的程序设计流程和高质量的图形，且具有一下的特点与功能:
1MATLAB是一个交互式软件系统
输入一条命令就可以得出该命令的结果。
2MATLAB具有很强的数值计算功能
MATLAB以矩阵作为数据操作的基本单位，但无需预先指定矩阵维数。
按照IEEE的数值计算标准进行计算。
提供十分丰富的数值计算函数，方便计算，提高效率。
MATLAB命令与数学中的符号、公式非常接近，可读性强，容易掌握。
二、主题部分
2.1.MATLAB软件介绍
2.1.1.MATLAB软件概况
“MATLAB”是“Matrix Laboratory”的缩写。MATLAB的第一个版本是LINPACK和EISPACK库的程序的一个接口，用来分析线性方程组。随着MATLAB的演化，除了线性代数外，它还支持许多其他的程序。MATLAB的核心仍然是基于命令行的交互式分析工具。用户可以用类Fortran语言扩展交互环境。交互环境中的程序以命令行的形式执行。
MATLAB用户接口包括下拉菜单和对话框，任何个人电脑使用者对这一接口都很熟悉。菜单命令支持文件操作、打印、程序编辑和用户接口定制。MATLAB 的数值计算是通过在命令窗口输入命令，并不是通过菜单操作进行的。
MATLAB是一个基本的应用程序，它有一个称为标准工具箱的巨大程序模块库。MATLAB工具箱包括解决实际问题的扩展库，如：求根、插值、数值积分、线性和非线性方程组求解以及常微分方程组求解。由于继承了LINPACK、EISPACK 和LAPACK的特性,MATLAB对数值线性代数来说是一个高可靠的优化系统。许多数值作业能够用线性代数语言精确地表示。MATLAB和线性代数的密切关系是程序员能够用很短的MATLAB语言来解决复杂的数值作业。标准工具箱还包括数据可视化的扩展图形库，有简单的点、线和复杂的三维图形和动画。所有的MATLAB 程序都可以使用这些函数，这样就可以在所有程序和程序集中分析并生成达到出版质量的图示。对图形的快速访问能有效地提高用户的效率。诊断点有助于调试程序和检验算法是否正确执行。低级的图形函数为自定义图形用户接口的分析代码提供了扩展空间。除了标准工具箱，可以使用其他的工具箱，如：信号处理、图像处理、优化、统计分析、偏微分方程的求解和许多数值计算的应用。
2.1.2.MATLAB语言特点
MATLAB语言有不同于其他高级语言的特点，它被称为第四代计算机语
言,MATLAB语言的最大特点就是简单和直接。正如第三代计算机语言使人们摆脱对计算机硬件操作一样,MATLAB语言使人们从烦琐的程序代码中解放出来。它丰富的函数使开发者无须重复编程，只要简单的调用和使用即可。MATLAB语言的主要特点可概括如下:
(1)以矩阵和数组为基础的运算
MATLAB 是以矩阵为基础的，不需要预先定义变量和矩阵包括数组的维数，可以方便地进行矩阵的算术运算、关系运算和逻辑运算等。
(2)简单易学，使用方便
MATLAB 被称为“草稿式”语言，这是因为其函数名和表达更接近我们书写计算公式的思维表达方式，编写MATLAB程序犹如在草稿纸上排列公式与求解问题，因此可以快速地验证工程技术人员的算法。此外MATLAB还是一种解释性语言，不需要专门的编译器。
(3)强大的图形技术
MATLAB具有非常强大的以图形化显示矩阵和数组的能力，同时它能给这些图形增加注释并且打印这些图形。MATLAB 的图形技术既包括一些可以方便产生二维、三维科技专业图形的高级绘图函数，又包括一些可以让用户灵活控制图形特点的低级绘图命令。另外，用户还可以利用MATLAB的句柄图形技术创建图形用户界面。
4 编程效率极高
MATLAB 是一种面向科学和工程计算的高级语言。它以矩阵运算为基础，极少的代码即可实现复杂的功能。
5 可扩充性强，具有方便的应用程序接口
MATLAB 不仅有着丰富的库函数，在进行复杂的数学运算时可以直接调用。而且用户还可以根据需要方便地编写和扩充新的函数库。通过混合编程用户可以方便地在MATLAB环境中调用其他用 Fortran 或者 C 语言编写的代码，也可以在 C 语言或者 Fortran 语言程序中调用MATLAB 计算引擎来执行MATLAB代码。
高等数学是理、工科院校一门重要的基础学科。作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深人地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深人地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学相当重要。
2.2.Matlab在高等数学中的应用
2.2.1.Matlab符号计算在高等数学中的应用
例1：我缉私雷达发现，距离d处有一走私船正以匀速a沿直线行驶，缉私艇立即以最大速度(匀速v)追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，则缉私艇的运动轨迹是怎么样的?是否能追赶上走私船?如果能追赶上，需要用多长时间?使用数值方法行进模拟。
思路：选取走私船逃跑方向为x轴，开始时刻缉私艇的位置于y轴上的点,
设开始时刻走私船位于处，参见图一
图一追击问题示意图
模拟方法：由于可用雷达跟踪，所以缉私艇始终对准走私船，用参数方程描述缉私艇的轨迹。走私船做匀速直线运动，在t时刻的位置是，因此当缉私艇行驶到点的位置时，其速度指向点。由几何关系有  (1a)
这并不是一个常微分方程，为了进行数值模拟，还需作进一步的变形。
将速度分解为沿x方向和沿y方向的两个分速度:
1b
其中进行数值模拟时，可采用时间步长法：按时间流逝的顺序一步一步对缉私艇和走私船的活动进行模拟。由(1)式出发，类似于Eular方法，分别计算它们在每个时刻的x坐标和y坐标，从而可递推地计算它们的位置坐标。在整个模拟过程中，时间步长是固定不变的。下面给出一个参考算法:
算法:
(1)适当选取参数，如d120km,v90km/h,  a80km/h, 8km.根据这些数据画出缉私艇和走私船的初始位置，并在图上作适当注明;
(2)选取时间区间[0,T]，将其n等分，时间步长为dt，缉私艇的初始坐标为;
(3)根据(1)式，递推计算matlab求导
思考:
(1)缉私艇是否能够追赶上走私船?如果其他条件都不改变，这一问题显然