第二讲  矩阵运算
§1 基本矩阵运算元
我们在第一讲章已说明过 MATLAB 的运算是以数组(array)及矩阵 (matrix) 方式在做运算，而这二者在MATLAB的基本运算性质不同，数组强调元素对元素的运算，而矩阵则采用线性代数的运算方式。我们就来说明矩阵运算的特点。
以下将数组及矩阵的运算符号及其意义列出
数组运算符号
矩阵运算符号
功能
+
+
加
-
-
减
.*
*
乘
./
/
左除
.\
\
右除
.^
^
次方
.'
'
转置
利用这些运算符号即可进行以下的矩阵运算。
>> A=[2 5 1; 7 3 8; 4 5 21; 16 13 0];
>> A'    % A的转置矩阵
A =
2 7 4 16
5 3 5 13
1 8 21 0
>> A=[4 -1 3]; B=[-2 5 2];
>> dot_prod = sum(A.*B)      % 二个数组做内积
matlab求导dot_prod =
-7
>> c=dot(A,B)      % 以dot函数也可做内积运算
c =
-7
>> A=[4; -1; 3];
>> dot_prod = sum(A'.*B);      % 如果A是行数组则先做转置，再做内积
>> F=[2 5 -1]; G=[0 1 -3];
>> out_prod=F'*G;      % 二矩阵做外积
>> A=[2,5,1; 0,3,-1];
>> B=[1,0,2; -1,4,-2; 5,2,1];
>> C=A*B        % 矩阵相乘，注意二个矩阵的大小须相容
C =
2 22 -5
-8 10 -7
>> A=[2 1; 4 3];
>> A^2      % 矩阵次方
ans =
8    5
20    13
下面我们演示一个具体的例子。
假设我们把本地区的天气分为3种状态：晴，阴，雨。若今天天阴，则明天天晴的概率为1/2，阴的概率为1/4，下雨的概率为1/4。如果今天天阴，或者今天下雨，则明天天气是其它情况的概率会是其它的值，将这些概率值列入下面的表中。
  天气状态转移概率表
今天
明天
晴
阴
雨
晴
3/4
1/2
1/4
阴
1/8
1/4
1/2
雨
1/8
1/4
1/4
表中的每一列对应于今天天气状态，它的每一行对应于明天天气状态。例如，第2行第3列(最后一列)的值为1/2,，这给出了今天下雨明天转阴的概率。
将上表内的概率数据用矩阵A表示
                         
矩阵A中概率称为转移概率，矩阵A称为转移矩阵。
已知今天天气晴、阴、雨的概率，可以用转移矩阵A提供的数据来计算明天天气晴、阴、雨的概率。记、、分别为今天天气是晴、阴、雨的概率，、、分别为明天天气是晴、阴、雨的概率，两个列向量
                                 
分别称为今日概率向量和明日概率向量，则有矩阵计算式
                                   
以当前状态预测未来状态的概率模型称为Markov链。如果在清晨我们听到的天气预报为，今天阴或雨的概率都是1/2, 那么，今日概率向量。利用上式计算明日概率向量的Matlab操作是：
A=[3/4 1/2 1/4;1/8 1/4 1/2;1/8 1/4 1/4]; %输入矩阵A
P=[0 1/2 1/2]';                              %输入向量P
P1=(A*P)' 
P1 =
    3/8          3/8          1/4     
这里，P1就是按行向量的形式输出的结果。明天天气为晴、阴的概率都是3/8,下雨的概率是1/4。
明日的概率向量可以用前面的Markov链求出，那么两天的概率向量可用公式
                       
给出。这里需要计算，我们再用Matlab完成矩阵乘积的计算。
A2=A^2 
A2 =
    21/32        9/16        1/2