《数学模型与数学软件综合训练》论文
训练题目：水塔流量估计
学生学号：07500119    姓名：周才祥
计通院信息与计算科学专业
指导教师：黄灿云 （理学院）
2010年春季学期


前  言
在生产实践和科学研究中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到的一批离散样点，需要确定满足特定要求的曲线或曲面（即变量之间的函数关系或预测样点之外的数据）。如果要求曲线（面）通过所给的所有数据点（即确定一个初等函数通过已知各数据，一般用多项式或分段多项式），这就是数据插值。在数据较少的情况下，这样做能够取得好的效果。但是，如果数据较多，那么插值函数是一个次数很高的函数，比较复杂。如果不要求曲线（面）通过所有的数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，可得到更简单实用的近似函数，这就是数据拟合。函数插值和曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的。
针对水塔数据分析，利用数学软件MATLAB进行数据拟合。
  曲线拟合问题是指：已知平面上个点（，），＝0，1，…，，互不相同，寻求函数＝，使在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
  线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，其基本思路是，令
          ＝＋＋…＋
其中是事先选定的一组函数，系数（＝0，1，…，,<）待定。寻求，使得残差平方和＝达到最小。这里的建模原理实质上与实验七中的回归分析是一致的。
摘 要 数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法,也是解决各类实际问题的常用方法。文章采用曲线拟合的方法 ,并利用数学软件MATLAB对水塔流蚤进行计算 计算结果与实际记录基本吻合。
关键词： 建模 ，流量，拟合，MATLAB



目录
前言    1
摘 要    2
关键词    2
1问题提出    1
2问题分析    1
3模型假设    1
3.1忽略水位对流速的影响    2
3.2供水时段的假设    2
3.3单位时间的供水量为常数    2
3.4流量是对时间的连续函数    2
3.5流量与水泵是否工作无关    2
3.6流量定义的假设    2
4流量估计    2
4.1拟合水位—时间函数    2
4.2确定流量—时间函数    3
4.3一天总用水量的估计    3
5算法设计与编程    3
5.1 拟合第1、2时段的水位，并到处流量    3
5.1.1第1时段的流速：    3
5.1.2第2时段的流速    4
5.2拟合供水时段的流量    4
5.3一天的总用水量的估计    5
5.4流量及总用水量的检验    5
6计算结果    5
7分析与改进    6
参考文献    7
附录Ⅰ部分源代码    8


1问题提出
某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约2h.
水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。
下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表格 1
时刻（h）
0
0.92
1.84
2.95
3.87
4.98
5.90
7.01
7.93
8.97
水位（cm）
968
948
931
913
898
881
869
852
839
822
时刻（h）
9.98
10.92
10.95
12.03
12.95
13.88
14.98
15.90
16.83
matlab求导
17.94
水位(cm)
//
//
1082
1050
1021
994
965
941
918
892
时刻（h）
19.04
19.96
20.84
22.01
22.96
23.88
24.99
25.91
水位(cm)
866
843
822
//
//
1059
1035
1018
2问题分析
流量是单位时间流出水的体积。由于水塔为正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到。作为用于拟合的原始数据，希望水泵不工作时段的流量越准确越好。大体有两种计算方法：一是直接对表：1中的水位用数值微分计算出个时刻的流量，用它们拟合其他时刻或连续时间的流量；二是先用表中的数据拟合水位—时间函数，求导数可的连续时间的流量。一般来说数值为份的净度不高，何况测量记录不等距，结束值微分计算麻烦。因此选用中二种方法进行处理。