巴黎圣母院的钟声迎来了20世纪。1900年，人们都吧眼光放在未来：无产阶级正在组织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时代的潮流……。这一年的8月6日，第二届国际数学家代表会议在巴黎召开。年方38岁的德国数学家大卫•希尔伯特走上讲台，第一句话就问道：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高兴呢？”接着，他向到会者，也向国际数学界提出了23个数学问题，这就是著名的希尔伯特演说。这一演说，成为世界数学史的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的第一页！
科学发展的每一个时代都有自己的问题。希尔伯特站在当时数学研究的最前沿，高瞻远瞩地用23个数学问题，预示20世纪数学发展的进程。现在，时光已过去80多年。这23个问题约有一半已获得解决，有一些取得了很大进展，有些则收效甚微。80年来，人们把解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成至高无上的荣誉。据统计，从1936〜1974年，被育为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（Fields）国际数学奖的20名获奖人中，至少有12人的工作与希尔伯特问题有关。1976年，美国数学会组织评论1940年以来的美国十大数学成就，就有张柏嘉个人资料3项是希尔伯特问题的（1）、（5）、（10）等3个问题的解决。重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的。
希尔伯特，1862年生于德国德哥尼斯堡（现为苏联的加里宁格勒）。1884年获哥尼斯堡大学博士学位。1895年担任著名的哥廷根大学教授，直到1943年去世。他最初的研究领域是代数不变量和代数数论。1900年前后致力于数学基础──元数学。后来又转到分析方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出的贡献。
希尔伯特为发表1900年的重要演说，曾作过仔细的准备。1899年，第二届国际数学家会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言。希尔伯特接受了邀请，并计划在这世纪交替之际作一个相称的发言。当时他有两个想法：或者作一个为纯粹数学辩护的讲演，或者讨论一下新世纪数学发展的方向。为此，他写信与他的好友，杰出的数学家闵可夫斯基进行商量。闵可夫斯基于1900年1月5日回信说：“最有吸引力的题材莫过于展望未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题。这样一个题材，将会使你的讲演在今后几十年的时间里成为人们议论的话题。”当然，闵可夫斯基也指出了做这类预见性发言会遇到的困难。
经过一番斟酌，希尔伯特决意选择第二个想法，提出一批急需解决的重大数学问题。希尔伯特曾指出，历史上通过提出问题会导致整门新科学的诞生。他举了三个典型例子。第一，贝努利（Bernoulli）的最速降落线问题是现代数学分支──变分法的起源。第二，费尔
马（Fermat）问题，它看上去“非常特殊，似乎不十分重要”，却大大推动了代数数论的进展，现代代数数论中的核心概念“理想数”正是为了解决费尔马问题而提出的。第三，三体问题，它对现代天体力学起了关键作用。这三个问题，既有纯粹从数学本身提出的，也有从基本自然现象提出的。希尔伯特提出的问题后来也确实形成了许多新的数学分支，达到了预期的目的。鲍蕾个人资料
对希尔伯特来说，在国际数学家会议上报告自己的成果，远比提出新问题要容易得多，当时，希尔伯特正当科学创造活动的盛年，业已作出了许多世所公认得成绩。人们本来以为他会拿出优异的数学论文来回答国际数学界，却没有想到他竟会选择如此困难的题目来作讲演。希尔伯特接受任务以后，一直作着仔细的准备，直到6月份，他的讲演稿还没有写出来。预定8月在巴黎举行国际数学家会议的日程已发到代表们手中，其中没有列入希尔伯特的讲演。7月中旬，他才给闵可夫斯基寄去第一稿的样本。闵可夫斯基和希尔伯特的另一位学长和朋友胡尔维茨（A.Hurwitz）对初稿进行研究，帮助希尔伯特作了修改。如果从1899年底开始考虑选题算起，希尔伯特为了提出这23个题目整整花了8沈腾主演票房破250亿个月的时间。
希伯尔特的演说获得了极大的成功。各国的数学杂志纷纷转载他的演说稿，大批数学家投
入解决希伯尔特问题的激流中去。第3问题当年就被希伯尔特的学生德恩（Dehn,1878〜1952）所解决。迄今为止，已完满解决的希尔伯特问题约占一半，有几个问题比较笼统，难以判定解决与否，大约还有三分之一的问题仍悬而未决，有的有了部分进展，有的则差得很远。1975年，在美国的伊利诺斯大学召开了一次国际数学会议，邀请世界著名数学家参加，专门研究希尔伯特问题的进展。会后出版的论文集详细地介绍了各个问题的进展（见《Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems》一书）。
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大数学家韦尔（H·Weyl）在希尔伯特去世时的悼词中曾说：“希尔伯特就象穿杂衣服的风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河。”对有志的人们来说，这23个问题正是这样一种甜蜜的笛声，我们至今似乎仍能听到它的召唤。值得高兴的是，中国数学家在第8和第16问题上曾经作出一些贡献。
附录  希尔伯特23问题的解决情况
（1）康托的连续统基数问题
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。
1938年，桥居美国的奥地利数学家哥德尔证明连续统假设和ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩（P·Cohen）证明连续统假设和ZF公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能用世所公认的ZF公理证明其对错。希尔伯特第一问题在这一意义上已获解决。
　
（2）    算术公理的无矛盾性
欧氏几何的无矛盾性可归结为算术公里的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。歌德尔在1931年发表不完备性定理加以否定。1936年根茨（G·Gentzen,1909〜1945）在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的无矛盾性。
　
（3）      两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。德恩证明确实存在着这样的两个四面体（1900）。
　
（4）      两点间以直线为距离最短线问题
次问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需加以某些限制条件。1973年苏联数学家波格列洛夫（Poglelov）宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
　
（5）      一个连续变换的李氏概念，定义这个的函数不假定是可微的
这个问题简称连续的解析性，即是否每一个局部欧氏都一定是李？中间经过冯·诺伊曼（1933对紧情形）、邦德里雅金（Pontrja-qin）（交换情形，1939）、歇瓦莱（Chevalley）(1941对可解情形)的努力，于1952年，由格利森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决了，得到了完全肯定的结果。
　
浙江师范05班李苑苑（6）      物理学的公理化
希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率论和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogoroff）将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
　
（7）      某些数的超越性
问题要求证明：若 是代数数， 是无理数的代数数，则 一定是超越数或至少是无理数（例如 和 ）。1934年苏联数学家盖尔封特（A.O.Gelfond）证明这是对的。1935年，德国数学家施奈德（Schneider）也独立地解决了这一问题。
　
（8）      素数问题
素数是一个古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、歌德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。
黎曼猜想至今未能解决。歌德巴赫猜想亦未最终解决，中国陈景润取得领先地位。目前孪生素数的最佳结果也属于陈景润。
　
（9）      在任意数域中证明最一般的互反律
蔡依林该问题已由德国数学家阿廷（E·Artin）给予基本解决（1927），但至今仍在继续发展类域理论。
　
（10）  丢番图（Diophantus）方程的可解性
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210〜290，古希腊数学家）方程可解。希尔伯特问，是否能用一种有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnam）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破，1970年，苏联的马蒂塞维奇（Matijasevic）最终证明：第10问题的答案是否定
的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切关系。
　
（11）  任意代数数系数的二次型
德国人海塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国的魏依（A·Weil）取得了新进展。
　
（12）  将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去
    这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
　
（13）  用两变量函数解一般七次方程的不可能性
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b 、c ；x=x(a,b,c)，这一函数能否用两变量函数表示出来？
这一问题已接近解决。苏联数学家阿诺尔德（V·I·Arnold）解决了连续函数的情形(1957)。1964年维土斯金（Vituskin）又推广到连续可微函数情形。如果求解析函数，则问题尚未解决。
　
（14）  某些完备函数系的有限性的证明
这和代数不变量问题有关。日本数学家永田雅宜给出了漂亮的反例（1959）。
　
（15）  舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础
一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些
可计算的方法，它和代数几何学有密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。
　
（16）  代数曲线和代数曲面的拓扑问题
这个问题分为两部分。前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。苏联的彼德罗夫斯基（Petrovskiĭ）院士曾证 时极限环的个数不超过3。1979年，中国的史松龄以及王明淑分别举出有四个极限环的反例。
　
（17）  半正定形式的平方和表示
一个实系数n元多项式对一切数组(x1, …,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年，阿廷证明这是对的。
　
（18）  用全等多面体构造空间
德国数学家比勃巴赫（Bieberbach）（1910）、莱因哈特（Reinhardt）（1928）作出部分解决。
　
（19）  正则变分问题的解是否一定解析
这一问题的研究很少。伯恩斯坦（S·Bernstein）和彼德罗夫斯基等得出了一些结果。
　
（20）  一般边值问题