质数是什么
质数 - 数学名词 编辑词条
一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数(素数）
基本信息
∙中文名称
质数
∙外文名称
Prime Number
∙别名
素数
基本信息
质数最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数；其他素数都是奇数。素数有无限多个，所以不存在最大的素数。
围绕著素数存在很多问题、猜想和定理。著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。
素数序列的开头是这样的：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151
素数集合有时表示成粗体。
在抽象代数的一个分支－环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。换句话说，将整数Z的集合看成是一个环，-Z是一个素元素。但是在数学领域内，提到素数时通常指正的素数。
算术基本定理证明每个大于1的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。
质数例如：
关于分解的详细方法，可见于整数分解条目。
这个定理的重要一点是，将1排斥在素数集合以外。如果1被认为是素数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件。
0由于可以被任何数整除（合数）（因余数一定等于0），所以它不符合素数的定义。
相关定理编辑本段
素数定理
素数定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数
x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 π(x)≈x/ln x 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋 近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： π(x)=Li (x) + O (x e^(-(ln x)^(1/2)/15)，当 x 趋近∞。 其中 Li(x) = ∫(dt/ln x2,x)，而关系式右边第二项是误差估计。
质数
素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。
素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selbearg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。
算术基本定理
任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个素数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是素数，其诸方幂 ai 是正整数。
这样的分解称为N 的标准分解式。
算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。
算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。
此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。高斯证明复整数环Z也有唯一分解定理。它也诱导了诸如唯一分解整环，欧几里得整环等等概念。 更一般的还有戴德金理想分解定理。
素数等差数列
等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。类似7、37、67、97、107、137、167、197。这样由素数组成的数列叫做等差素数数列。2004年，格林和陶哲轩证明存在任意长的素数等差数列。2004年4月18日，两人宣布：他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”，也就是说，对于任意值K，存在K个成等差级数的素数。例如 K=3，有素数序列3, 5, 7 （每两个差2）……K=10，有素数序列 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089 （每两个差210）。
能够产生素数的等差数列与等差合数数列
能够产生素数的等差数列与合数数列是相对应的。
等差合数数列，在整数递增等差数列中，当首项能被公差或公差分解出来的素因子整除时，该等差数列只有首项可以为素数，其余项皆为合数，除首项的素数外，我们称其余项为合数等差数列。
能够产生素数的等差数列，在整数递增等差数列中，当首项不能被公差或公差分解出来的素因子整除时，该等差数列是能够产生素数的等差数列。
能够产生素数的等差数列的个数，以公差而定，如公差为30时，公差30=2*3*5，在30之内不能被30或30公解出来的素因子2，3，5分别整除的数为：1*2*4=8个数1，7，11，13，17，19，23，29，即，以这8个数为首项，以30为公差能够组成8个能够产生素数的等差数列。
能够产生素数的等差数列的拆分：即增加公差内的素因子个数，将一个能够产生素数的等差数列拆分为多个能够产生素数的等差数列，如1+30N拆分为以210为公差，以1，31，61，121，151，181为首项的6个能够产生素数的等差数列。
能够产生素数的等差数列猜想，从首项起取公差中最大素因子的值相同的项，能够产生新的素数。
即，能够产生素数的等差数列永远存在，表明素数永远存在。
已经被证明的定理
在一个大于1的数a和它的2倍之间(即区间(a, 2a]中)必存在一个素数。
存在任意长度的素数等差数列。(格林和陶哲轩，2004年)
一个偶数可以写成两个数字之和，其中每一个数字都最多祇有9个质因数。(挪威数学家布朗，1920年)
一个偶数必定可以写成一个素数 p 加上一个合成数 c ，其中 c 的因子个数有上界。(瑞尼，1948年)
一个偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5) (中国潘承洞，1968年)
一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) (中国陈景润)
素数算法
欲求出小于x的所有素数参见素数公式。
如何在最少的数字中，以最少的计算步骤寻到M内的所有素数，请搜索《中国特的素数研究》，只在M内的部分数中，素数不须要运算，一个合数只须要计算一个乘法，合数不进行重复删除，该方法适用于大范围。
为什么说该方法是最先进、是科学的素数寻方法？因为，这里每删除的一个数，并不是一个单独的合数，而是一个合数等差数列的首项，即每删除的一个数都是删除的一个合数等差数列：保留的是所有能够产生素数的等差数列。这就是它的先进性与科学性。
而 试除法，如寻9409到10201中的1个素数，试除法必然运算16个除法题；寻994009到1018081中的一个素数必然运算168个除法。还存在合数的多个运算。
未解之谜编辑本段
哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之间的和？
孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？
斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？
是否存在无穷多的梅森素数？
在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？
是否存在无穷个形式如X2+1素数？
数目证明编辑本段
素数的无穷性的证明
素数的个数是无穷的。最经典的证明由欧几里得证得，在他的《几何原本》中就有记载。它使用了现在证明常用的方法：反证法。具体的证明如下：
假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。
所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg则用拓扑学加以了证明。
对于一定范围内的素数数目的计算
尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000以下有多少个素数?”，“一个随机的100位数
多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。
检验素数
检查一个正整数N是否为素数，最简单的方法就是试除法，将该数N用小于等于根号N的所有素数去试除，若均无法整除，则N为素数，参见素数判定法则。
2002年，印度人M. Agrawal、N. Kayal以及N. Saxena提出了AKS素数测试算法，证明了可以在多项式时间内检验是否为素数。
著名问题编辑本段
哥德巴赫猜想
在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个素数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个素数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表
示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。
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