完全数是什么？什么是自然数
王锦根  皖黄山市黄山区装饰局 245700
摘要：通过完全数的求证和推导，推导出完全数公式，并利用完全数公式得出奇完全数是不存在的，并且证明完全数的尾数为6或8。
关键词：完全数  完全数公式
一、概    念
已知自然数 a 和 b ，如果 b 能够整除 a ， 就是说 b 是 a 的一个因数，
也称为约数。显然，任何自然数 a ，总有因数 1 和 a ，我们把小于 a 的因数叫做 a 的真因数。
完全数：一个自然数等于它的真因数之和，这个数便称为完全数。                            如：     
6 的真因数 1，2，3，          且有  6=1+2+3，
28 的真因数 1，2，4，7，14，  且有 28 = 1+2+4+7+14
  ……
二、完全数的几个性质
完全数有许多有趣的性质：                     
1、它们都能写成连续自然数之和。
如：  6 = 1+2+3 ；
28 = 1+2+3+4+5+6+7 ；
      496 = 1+2+3+……+30+31；
……。
2、它们的全部因数的倒数之和都是2。
如： 1/1+1/2+1/3+1/6 = 2，
    1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2，
……。
3、完全数公式：
设
依据定义
如果
     
则 a 便是完全数，上述公式便是完全数公式。
           
                三、完全数公式的应用
有了完全数公式，对于一个数是否是完全数，只要代入公式一试即可。
例1、  a = 2n×p k   是完全数的条件是什么？（p为奇素数，k∈N ）
解：按完全数公式得
2 ×2n × pk =（ 1 +2 + 22 + … + 2n ）×（1+ p + p2 + … + pk ）
=  2n+1 × pk =（ 2n+1 - 1 ）×(pk+1-1) / (p-1)
∵  ( 2n+1，2n+1- 1 ) = 1,    ( pk ，1+ p+ p2+…+ pk ) = 1，
当且仅当  2n+1= ( pk+1-1 ) / ( p-1 ) ， p k= 2n+1- 1 ，→  p ( pk-1- 1 ) = 0。
∵  p ≠ 0 ，1。          ∴ k = 1 ，    p = 2n+1 - 1 。
∴  a = 2n×pk 是完全数的条件是 k = 1 ， p = 2n+1 - 1 ，即是人们所说的偶完全数。
从 2n+1 - 1分解看，n+1 必为素数，因此偶完全数还可表示为 a = 2 p-1 ×（2p-1），其中：2 p -1 为素数。
由于2 p - 1 为是梅森素数，所以有多少梅森素数，至少有多少偶完全数。
现在我们解释一下，为什么完全数有性质1现象，因为1+2+3…+（2p-1）＝（1+2p-1）×（2p–1）/2＝2 p-1 ×（2p-1），所以有性质1现象。
（注：其实2n+1= ( pk+1-1 ) / ( p-1) ，根据不可约原理。
当K=4L+1时，左边为2因子，右边含有奇数因子。
当K=4L-1时，得出p=3是不符合条件
当且仅当 k＝1时，p = 2n+1 – 1
例2、a = 2×p k   是完全数的条件是什么？
解：按完全数公式得
2 ×2 × pk =（ 1 +2 ）×（1+ p + p2 + … + pk ）
pk=3 ，k=1，p=3，a=6 ，是偶完全数的一个特例。
例3、 求  为完全数的条件（P1 ，P2 为奇素数，k1，k2∈N）。
解：按完全数公式有
按不可约原理设
第一种情形：
化简整理得： 
k2=1， p2=1 (不符合题意)，即分解后只能有一个奇素数，又回到例1的情形，故该题无解。
第二种情形：
一样得到无解的结果。