2022年河北省高考数学真题及解析
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。1.设集合{
}
4＜x x M =，{}13N ≥=x x ，则N M ⋂=（
）
A.{}
2
0＜x x ≤  B.⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≤231＜x x
C.{}
16
3＜x x ≤  D.⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤1631＜x x
2.已知()11=-z i ，则=+z z
（
）
A.2
-  B.1
-  C.1
D.2
3.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，DA BD 2=.记m A C  =，n D C  =，则=
B C
A.n m  23-
B.n m  32+-
C.n m  23+
D.n
m  32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km ²；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为
(
)
65
.27≈A.3
9
100.1m
⨯  B.3
9102.1m
⨯  C.3
9
104.1m ⨯  D.3
9106.1m
⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（
）
A.
6
1  B.
3
1  C.
2
1  D.
3
26.记函数()()04sin ＞ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
=的最小正周期为T .若ππ
22
3＜＜T ，且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛223，π中心对称，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛2πf （）
A.1
B.
2
3  C.
2
5  D.3
7.设1
.01.0e
a =，9
1
=
b ，9.0ln -=
c ，则A.c b a ＜＜  B.a b c ＜＜  C.b a c ＜＜  D.b
c a ＜＜8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36，且
333≤≤l ，则该正四棱锥体积的取值范围是（
）
A.⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡4
8118，  B.⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡481427，  C.⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡364427，  D.[]
27,18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知正方体1111D C B A ABCD -，则（）
A.直线1BC 与1DA 所成的角为90°
B.直线1BC 与1CA 所成的角为90°
C.直线1BC 与平面11DD BB 所成的角为45°
D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45°10.已知函数()13
+-=x x x f ，则（
）
A.()x f 有两个极值点
B.()x f 有三个零点
C.点()1,0是曲线()x f y =的对称中心
D.直线x y 2=是曲线()x f y =的切线
11.已知O 为坐标原点，点()11，A 在抛物线()02:2
＞p py x C =上，过点()10-，B 的直线交
C 于P ，Q 两点，则（
）
A.C 的准线为1-=y
B.直线AB 与C 相切
C.2
OA
OQ OP ＞⋅  D.2
BA
BQ BP ＞⋅12.已知函数()x f 及其导数()x f '的定义域为R ，记()()x f x g '=，若⎪⎭
⎫
⎝⎛-x f 223，()x g +2均为偶函数，则（）A.()0
=x f    B.021=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
g    C.()()41f f =-  D.()()
21g g =-
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.()81y x x y +⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-
的展开式中6
2y x 的系数为（用数字作答）.
14.写出与圆12
2
=+y x 和()()16432
2
=-+-y x 都相切的一条直线的方程.15.若曲线()x
e a x y +=有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
.
16.已知椭圆()01:22
22＞＞b a b
y a x C =+，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率
为2
1
.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，6=DE ，则ADE ∆的周长是
.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧n n a S 是公差为31
的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：
21
1121＜n
a a a +++ .18.（12分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c
b a ，，，
已知B
B
A A 2cos 12sin sin 1cos +=
+.（1）若32π=C ，求B ；（2）求2
22c
b a +的最小值.19.（12分）如图，直三棱柱111-C B A ABC 的体积为4，,BC A 1∆的面积为22.（1）求A 到平面BC A 1的距离；
（2）设D 为C A 1的中点，AB AA =1，平面111A ABB BC A 平面⊥，求二面角C BD A --的正弦值.
20.（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人中随机调查了100人（称为对造组），得到如下数据：
不够良好
良好病例组4060对照组
10
90
（1）能否有99％的把握认为患该疾病体与未患该疾病体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件
“选到的人患有该疾病”.()
()A B P A B P 与()()
A B P A
B P 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程
度的一项度量指标，记该指标为R .
（i ）证明：R =()()()()
B
A P B
A P
B A P B A P ⋅
.（ii ）利用该调查数据，给出()
B A P ，()
B A P 的估计值，并利用（i ）的结果给出R 的估计值.
附()()()()()
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2
.
(
)
k K P ≥2
0.0500.0100.001k
河北高考时间表安排2022
3.841
6.635
10.828
21.（12分）已知()1,2A 在双曲线()111
:
2
2
22＞a a y a x C =--上，直线l 交C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.（1）求l 的斜率；
（2）若22tan =∠P AQ ，求P AQ ∆的面积.
22.（12分）已知函数()ax e x f x
-=和()x ax x g ln -=有相同的最小值.
（1）求a ；
（2）证明：存在直线b y =，其与两条曲线()x f y =和()x g y =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
2022河北省高考数学真题参考答案
一、选择题
1.D 解析：{}
160＜x x M ≤=，⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≥
=31N x x 2.D 解析：由题设有i i
z -==
-1
1故i z +=1，故()()211=-++=+i i z z .3.B
解析：点D 在边AB 上，DA BD 2=，∴DA BD 2=，即()
CD CA CB CD -=-2，
∴m n CA CD CB
2323-=-=.4.C
解析：依题意可知棱台的高为()m h 95.1485.157=-=，所以增加的水量即为棱台的体积V .棱台上底面积2
6
2
101400.140m km S ⨯==，下底面积2
6
2
101800.180m
km S ⨯=='∴()()
()761065.218961076032033
1
⨯⨯+≈⨯+⨯='+'+=
S S S S h V 9
9104.110437.1⨯≈⨯=5.D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有212
7=C 种不同的取法，若
两数不互质，不同的取法有：（2,4）（2,6）（2,8）（3,6）（4,6）（4,8）（6,8），共7种，故所求概率3
2
21721=-=P .6.A
解析：由函数的最小正周期满足
ππ223＜＜T ，得πω
π
π2223＜＜，解得32＜＜ω，又因为函数的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛223，π中心对称，∴Z k k ∈=+,423ππωπ，且2=b ，∴
Z k k ∈+-=,3261ω，∴25=ω，()242
5
sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ，
∴()1244
5
sin =+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=ππx f 7.C
解析：设()()()11ln --+=＞x x x x f ，∵()x
x x x f +-=-+=
'1111当()0,1-∈x 时，()0＞x f '；当()∞+∈，0x 时，()0＜x f '∴函数()x f 在()∞+，0上单调递减，在()0,1-上单调递增，