宁波2021年高等职业技术教育招生考试模拟试卷
《数学》
本试题卷共三大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题(本大题共20小题，1～10小题每小题2分，11～20小题每题3分，共50分)
(在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．错涂、多涂或未涂均无分)
1．已知集合{}
23A x x =-，{
}
2
50B x Z x x =∈-<，则A B =（ ▲ ）
A ．{}1,2
B ．{}23，
C ．{}1,23，
D ．{}0,1,23，
2．已知237M
x x =-+，21N x x =-++，则（ ▲ ）
A ．M N <
B ．M N >
C ．M N =
D ．,M N 的大小与x 的取值有关
3．若函数()()13f x m x =++在其定义域R 上为减函数，则实数m 的取值范围是（ ▲ ） A ．()1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,1- D ．()1,+∞ 4．将300-︒化为弧度为（ ▲ ） A ．53π-
B ．43π
- C ．76π- D ．74
π- 5．在四边形ABCD 中，如果AB DC =，且AC BD =，则四边形的形状为（ ▲ ） A ．梯形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 6．函数(
)()lg 1f x x =
+的定义域为（ ▲ ）
A ．(]1,1-
B ．()1,1-
C ．[]1,1-
D ．[)1,+∞ 7．已知角α的终边过点()5,12P -，则sin cos αα+=（ ▲ ） A ．413 B ．413- C ．713 D ．713
-
8．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（ ▲ ） A ．3
10A 种 B ．3!种 C ．3
10C 种 D ．以上均不对 9．若抛物线2x ay =的焦点为()0,2F ，则a 的值为（ ▲ ） A ．14
B ．4
C ．18
D ．8
10．已知直线1:3410l x y -+=，2:3410l x y --=，则这两条直线间的距离为（ ▲ ） A ．25 B ．52
C ．1
2 D ．2
11．在正方体中1111ABCD A B C D -，E 为1DD 的中点，则下列直线中与平面ACE 平行的为（ ▲ ）
A ．1BA
B ．1BD
C ．1BC
D ．1BB
12．已知,,a b c R ∈，函数()2
f x ax bx c =++，若()()()134f f f =>，
第11题图
A 1
A
则（ ▲ ）
A ．0,40a a b >+=
B ．0,40a a b <+=
C ．0,20a a b >+=
D ．0,20a a b <+=
13．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为（ ▲ ） A ．1760石 B ．200石 C ．300石 D ．240石 14．正项等比数列{}n a 中，1a ，4041a 是方程2
10160x
x -+=的两根，则2021a 的值为（ ▲ ）
A ．4
B ．4±
C ．8
D ．8±
15．已知{}
02A x x =，下列图像中能表示定义域和值域都是A 的函数的是（ ▲ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
16．已知0m >，则“3m =”是“椭圆22215
x y m +=的焦距为4”的（ ▲ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
17．下列四类函数中，具有性质“对任意的,(0,0)x y x y >>，函数()f x 满足
()()()f x y f x f y +=”的是（ ▲ ）
A ．幂函数
B ．对数函数
C ．指数函数
D ．二次函数 18．直线()()11y k x x R -=-∈与2220x y y +-=圆的位置关系为（ ▲ ） A ．相离或相切 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交 19．若将函数sin 2y x =的图像向左平移
6
π
个单位，则平移后的图像（ ▲ ）8 A ．关于点,012
π⎛⎫- ⎪
⎝
⎭
对称 B ．关于直线12x π=-对称 C ．关于点,012
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
对称 D ．关于直线12x π=对称
20．若直线y kx =与双曲线22
194
x y -=相交，则k 的取值范围为（ ▲ ）
A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．2,3⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
2O
y
x
331
2
12O
y
x
331
2
1
21．已知函数()()221,1log 4,1
x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+⎩
，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ▲ .
22．已知底面半径为r ，高为4r 的圆柱的侧面积等于半径为R 的球的表面积，则R r
=
▲ .
23．已知tan 2θ=，且02πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，，则cos2θ= ▲ .
24．已知04x <<，则()4x x -的最大值为 ▲ .
25． 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且53655S S -=，则4a = ▲ .
26．若6
1x ax ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中2
x 的系数为52，则a = ▲ .（用数字作答） 27．已知扇形的周长是3cm ，面积是
2
12
cm ，则扇形的圆心角的弧度数为 ▲ . 三、解答题(本大题共8小题，共72分)(解答题应写出文字说明及演算步骤) 28．（本题满分7分）()
()4
23
2211log log 16ln 0!sin cos5856
e π
⎛⎫
++-+-
+︒ ⎪⎝⎭
．
29．（本题满分8分）设圆的方程为22450x y x +--=． （1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）若此圆的一条弦AB 的中点为()3,1P ，求直线AB 的方程．
30．（本题满分9分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 且2
cos cos 3ac B bc A b -=． （1）求
sin sin A
B
的值； （2）若1b =
，sin C =ABC ∆的面积．
31．（本题满分9分）函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛
⎫
=+
>> ⎪⎝
⎭
单考单招的最大值为2，它的最小
正周期为2π．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()()cos g x x f x =，求()g x 的最大值和最小值．
32．（本题满分9分）已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，()1,M t 为抛物线C 上的点，且3
2
MF =
． （1）求抛物线C 的标准方程；
（2）若直线2y x =-与抛物线C 相交于A ，B 两点，求弦长AB ．
33．（本题满分10分）某超市将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，新冠疫情后，为了刺激消费，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）超市要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（2）每台冰箱降价多少元时，超市每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
34．（本题满分10分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，1PA =
，PD =E 为PD 的中点．
（1）求四棱锥P ABCD -的体积； （2）二面角E AC D --的正切值．
35．（本题满分10分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，前n 项之积为n T ，求n S ，n T ．
1 2020年宁波市高考模拟卷答案
本试题卷共三大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题(本大题共20小题，1～10小题每小题2分，11～20小题每题3分，共50
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 21．3； 22； 23．35-； 24．4 25．
1
3
26． 27．1或4 三、解答题(本大题共8小题，共72分)(解答题应写出文字说明及演算步骤) 28．解：原式()433
2
22log 42ln 1sin 2cos 1803456e ππ⎛⎫⎛⎫
=++-+-+
+︒⨯+︒ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
142212=++-+
-=
（每个1分，答案1分） 29．解：（1）由圆的方程得()2
229x y -+=，------------------------2分 则该圆的圆心坐标为()2,0C ，半径3r =．------------------------2分 （2）由题意得，弦AB 的中垂线为直线CP ，而10
132
CP k -=
=-， 所以1AB k =-，------------------------2分
故直线AB 的方程为：()113y x -=--，即40x y +-=．------------------------2分 30．解：（1）由余弦定理得：2
cos cos 3ac B bc A b -=
2222222223422
a c
b b
c a b a b +-+-⇒-=⇒=，---------2分
2a b ∴=即
2a
b
=，------------------------1分 则
sin 2sin A a
B b
==．------------------------2分 （2）因为1b =，22a b ==， ------------------------2分
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