第五章习题第一部分01-15
[证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ⊆ N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ⊆ N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间．
2. 设B 为线性空间X 的子集，证明
conv(B ) = {∑=n
i i i x a 1| a i ≥ 0,
∑=n
i i
a
1
= 1, x i ∈B , n 为自然数}．
[证明] 设A = {∑=n
i i i x a 1
| a i ≥ 0,
∑=n
i i
a
1
= 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为
包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ⊆ F ，故A 为包含B 的最小凸集．
3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底．
[证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m
n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，
所以E 中任意有限个元素线性无关，
故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在
2
中对任意的x = (x 1, x 2)∈
2
，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，
|| x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的
图形．
[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．
泛5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ∀x , y ∈cl(L )，∀a ∈，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间．
[注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包．
6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0∉ M ．证明：
L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈}也是X 的闭线性子空间．
[证明] 若a , b ∈，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ，
则(a - b ) x 0 = z - y ∈ M ，得到a = b ，y = z ；即L 中元素的表示是唯一的．
若L 中的序列{ a n x 0 + y n }收敛于X 中某点z ，则序列{ a n x 0 + y n }为有界序列． 由于M 闭，x 0∉ M ，故存在∃r > 0，使得|| x 0 - y || ≥ r ，∀y ∈ M ．则当a n ≠ 0时有
| a n | = | a n | · r · (1/r ) ≤ | a n | · || x 0 + y n /a n || · (1/ r ) = || a n x 0 + y n || · (1/r )， 所以数列{ a n }
有界，故存在{ a n }的子列{ a n (k ) }使得a n (k ) a ∈． 这时y n (k ) = (a n x 0 + y n ) - a n x 0 z - a x 0 ∈ M ．所以z ∈L ，所以L 闭． [注] 在此题的证明过程中，并未用到“X 为完备的”这一条件．
7. 证明：a. 在2中，|| ◦ ||1，|| ◦ ||2与|| ◦ ||∞都是等价范数；b. || ◦ ||1与|| ◦ ||2是等价范数的充要条件是：X 中任意序列在两个范数下有相同的收敛性． [证明] a. 显然|| x ||∞ ≤ || x ||2 ≤ || x ||1 ≤ 2|| x ||∞，所以|| ◦ ||1，|| ◦ ||2与|| ◦ ||∞都是等价范数．b. 必要性是显然的，下面证明充分性．首先inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} ≥ 0． 若inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = 0，则存在X 中序列{ x n }，使得|| x n ||1 = 1，|| x n ||2 0． 而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而|| x n ||1 0． 这矛盾说明inf {|| x ||2 | || x ||1 = 1} = a > 0．
对∀x ∈X ，当x ≠ 0时，|| (x /|| x ||1) ||1 = 1，所以|| (x /|| x ||1) ||2 ≥ a ． 故∀x ∈X 有a || x ||1 ≤ || x ||2．
类似地可以证明存在b > 0使得b || x ||2 ≤ || x ||1，∀x ∈X ．所以两个范数等价．
8. 证明：Banach 空间m 不是可分的．[证明见教科书p187, 例3.5]
9. 证明：c 是可分的Banach 空间．[证明见第4章习题16]
10. 设X , Y 为线性赋范空间，T ∈B (X , Y )．证明T 的零空间N (T ) = { x ∈X | Tx = 0 }是X 的闭线性子空间．
[证明] 显然N (T ) = { x ∈X | Tx = 0 }是X 的线性子空间．对∀x ∈N (T )c ，Tx ≠ 0，由于T 是连续的，存在x 的邻域U 使得∀u ∈U 有Tu ≠ 0，从而U ⊆ N (T )c ．故N (T )c 是开集，N (T )是X 的闭子空间．
11. 设无穷矩阵( a i j )，( i , j = 1, 2, ...)满足∞<∑∞
=1||sup j ij i
a ，定义算子T : m m 如
下：y = Tx ，∑∞
==1
j j ij i a ξη，其中x = (ξ i ), y = (η i )∈ m ．证明：T 是有界线性算
子，并且∑∞
==1
||sup ||||j ij i
a T 。
[证明] 因|)|(sup )||sup ()||sup ||(sup ||sup ||||1
1
1
j j
j ij i
j j j
ij i
j j ij i
a a a Tx ξξξ⋅=⋅≤=∑∑∑∞
=∞=∞=，
及T 是线性的，所以T 为有界线性算子， ∑∞
=≤1
||sup ||||j ij i
a T 。对任意的实数
∑∞=<1
||sup j ij i
a u ，存在自然数K 使得u a j Kj >∑∞
=1
||。取m x i K ∈=)(ξ，使得其第j 个
坐标)sgn(Kj j a =ξ，则1||||=K x ，且∑∞=≥1
||||||j Kj K a Tx 。所以u a T j Kj >≥∑∞
=1
||||||，故
有∑∞=≥1
||sup ||||j ij i
a T ，从而∑∞
==1
||sup ||||j ij i
a T 。
12. 设22:l l S n →满足对221),,,,(l x n ∈=∀ΛΛξξξ有),,()(21Λ++=n n n x S ξξ。证明
n S 是有界线性算子，1||||=n S 。 [证明] 显然n S 是线性算子。因为21
21
2
2
||||||||||)(||x x S k k n k k
n =≤=
∑∑∞
=∞
+=ξξ
，2l x ∈∀，
所以||||||)(||x x S n ≤，2l x ∈∀，可见n S 是有界线性算子，且1||||≤n S 。令
),0,1,0,0,0(ΛΛ=n x （仅第)1(+n 个坐标不为零），则2l x n ∈，1||||=n x ，),0,1()(Λ=n n x S ，1||)(||=n n x S 。所以1||)(||||)(||sup ||||1
||||=≥==n n n x n x S x S S 。
13. 证明],[b a C 上的泛函⎰=b
a dt t x x f )()(是有界线性泛函，且a
b f -=||||。
[证明] 显然f 是线性泛函。对],[b a C x ∈∀有
||||)(|)(|max )(|)(||)(||)(|]
,[x a b t x a b dt t x dt t x x f b a t b
a
b a
-=-≤≤=∈⎰⎰，
所以f 是有界线性泛函，且a b f -≤||||。进一步，取],[0b a C x ∈使得1)(0≡t x ，则1||||0=x 。得到a b x f x f f x -=≥==|)(||)(|sup ||||01
||||。
14. 取定],[0b a t ∈，在],[b a C 上定义泛函1f 如下：)()(01t x x f =。证明1f 是有界线性泛函，1||||1=f 。 [证明]显然1f 是线性泛函，由|||||)(|max |)(||)(|]
,[01x t x t x x f b a t =≤=∈，知1f 有界1||||1≤f 。
取],[0b a C x ∈使1)(0≡t x ，则1||||0=x ，得1|)(||)(||)(|sup ||||000111
||||1==≥==t x x f x f f x 。
15. 证明：∞=l l *1)(。
[证明] 任取∞
∈=l y i )(η，显然∑∞
==1
)(i i i x f ηξ是1l 上有界线性泛函，且
||||||||y f ≤。又取1l x k ∈使其第k 个坐标为1其余皆为0，则|||)(|||||k k x f f η=≥，
Λ,2,1=∀k 。从而||||||||y f ≥，进而||||||||y f =．
另一方面，设f 为1l 上有界线性泛函，令)(i i x f =η，则||||||||||||||f x f i i =⋅≤η，Λ,2,1=∀i ，
从而∞∈=l y i )(η。对1)(l x i ∈=∀ξ，我们令),0,0,,,,(21ΛΛn n u ξξξ=， 则∑∑∑======n
i i i n
i i i n
i i i n x f x f u f 1
1
1
)()()(ηξξξ．
注意到在1l 中x u n →，以及f 为1l 上有界线性泛函，
故∑∞
==1)(i i i x f ηξ，并且满足这样条件的∞∈=l y i )(η是唯一的．
16. 证明：n 维线性赋范空间的共轭空间仍是一个n 维线性赋范空间。
[证明] 设X 是n 维线性赋范空间，{ x 1, x 1, ..., x n }是它的一个基． 令f i : X X 表示i n
k k k i a x a f =∑=)(1，∀i = 1, 2, ...．
则∑∑==⋅≤==n k i k i
i i i i n
k k k i x a x x x a a x a f 11||||||||1
|||||||||||)(|，注意到∑==n
k i k x a x N 1||||)(也是X 上的范数，以及有限维线性空间上的范数都是等价的，故存在M > 0使得
||||)(x M x N ≤，所以|||||||||)(|x x M
x f i i ≤
，所以f i ∈ X *．下面证明{ f 1, f 1, ..., f n }是X *的一组基。事实上，∀f ∈ X *，
∑∑∑∑∑∑=========n
k n
j j j n
k k k n
k n
j j j k k k k n
k k k x a f x f x a f x f x f a x a f 1
1
1
1
1
1
))()(()()()()(，
所以∑==n k k k f x f f 1
)(。故X *
为有限维空间，且维数不超过n ．若01
=∑=n
k k k f c ，则
0))(()(1
1
===∑∑==i n
k k k n k i k k i x f c x f c c ，所以{ f 1, f 1, ..., f n }线性无关，故X *维数为n 。
17. 证明：无穷维线性赋范空间的共轭空间仍是无穷维线性赋范空间。
[证明] 设X 是无穷维线性赋范空间，由于典范映射J : X X **是保范的线性同构，故X **必定是无穷维空间．由前面的习题16知道X *必然也是无穷维的．
18. 设X 是赋范空间，M 为X 的子集，x ∈X 。证明：x ∈ cl( span(M ) )的充分必要条件为∀f ∈ X *，若f (M ) = 0则f (x ) = 0． [证明] 设x ∈ cl(span(M ))，则对∀f ∈ X *，若f (M ) = 0，由于f 是线性的和连续的，自然有f (cl(span(M ))) = 0，从而f (x ) = 0．
反过来，设x ∈cl(span(M ))，则d (x , cl(span(M ))) > 0．由Hann-Banach 定理，存在f ∈ X *，使f (cl(span(M ))) = 0，且f (x ) = d (x , cl(span(M ))) > 0，得到矛盾．
19. 验证极化恒等式。
[证明] 我们只对实内积空间来验证，对于复内积空间，方法是类似的． || x + y ||2 - || x - y ||2 = < x + y , x + y > - < x - y , x - y >
= (< x , x > + < x , y > + < y , x > + < y , y > ) - ( < x , x > - < x , y > - < y , x > + < y , y >) = 4< x , y >．
20. 证明由内积导出的范数|| x || = < x , x >1/2满足范数定义的三个条件。 [证明] 前两个条件是显然的，我们只证明三角不等式．事实上， || x + y ||2 = < x + y , x + y > = || x ||2 + < x , y > + ><y x , + || y ||2 = || x ||2 + 2 Re(< x , y >) + || y ||2 ≤ || x ||2 + 2 | < x , y > | + || y ||2 ≤ || x ||2 + 2 || x || · || y || + || y ||2 = (|| x || + || y ||)2．所以三角不等式成立．
21. 证明内积空间中的勾股定理。
[证明] 设x = x 1 + x 2，且x 1 ⊥ x 2．则< x 1, x 2> = < x 2, x 1> = 0，所以
|| x ||2 = || x 1 + x 2 ||2 = < x 1 + x 2, x 1 + x 2> = < x 1, x 1 > + < x 1, x 2 > + < x 2, x 1 > + < x 2, x 2> = < x 1, x > + < x 2, x 2> = || x 1 ||2 + || x 2 ||2．
22. 设X 是内积空间，X N M ⊆,，N M ⊥。证明：⊥⊆M N 。
[证明] 对N x ∈∀，因N M ⊥，得M x ⊥，故⊥∈M x ，所以⊥⊆M N 。
23. 设X 是内积空间，X N M ⊆,，N M ⊆。证明：⊥⊥⊆M N 。 [证明] 对⊥∈∀N x ，由N x ⊥，及N M ⊆，知M x ⊥，故⊥∈M x 。所以⊥⊥⊆M N 。
24. 设H 为Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。证明：⊥⊥=)(M M ，⊥⊥=)(M M 。 [证明] 对M x ∈∀，
显然有⊥⊥M x ，从而⊥⊥∈)(M x ，故⊥⊥⊆)(M M 。若M x ∉，由投影定理，设21x x x +=，其中M x ∈1，⊥∈)(2M x ，且02≠x 。此时⊥∈M x 2，
故有0||||,,,22222212≠>=>=<+>=<<x x x x x x x x ，所以⊥⊥∉)(M x ，故
⊥⊥=)(M M 。
由23题结果，⊥⊥⊇)(M M ，而对⊥∈∀M x ，M x ⊥，故M x ⊥，所以⊥∈)(M x ，因此⊥⊥⊆)(M M ，故有⊥⊥=)(M M 。
25. 设X 为内积空间，M 是X 的线性子空间，满足：对任何X x ∈，它在M 上的正交投影都存在。证明：M 是X 的闭线性子空间。
[证明] 对M x ∈∀，由于存在它在M 上的正交投影，故可设21x x x +=，其中
M x ∈1，⊥∈M x 2。由26题知⊥∈)(2M x ，而M x x x ∈-=12，故02=x ，所以M x x ∈=1，因此M M =，即M 为X 的闭子空间。
26. 设X 为内积空间，M 是X 的稠密子集，{ e n }是X 的标准正交系。证明：{ e n }完备的充要条件是在子集M 上，Parseval 等式成立．
[证明] 由{ e n }完备性定义知必要性是显然的，下面证明充分性。对∀x ∈X ，由
M 在X 中稠密，对任意的0>ε，存在M y ∈，使得2||||ε<-y x ，2
||||||||22ε+≤y x 。而对于M y ∈，Parseval 等式成立，即∑∞
=><=1
22
|,|||||n n e y y ，存在自然数N 使得
2
|,|1
2ε<><∑∞
+=N n n
e
y 。下面估计2||||x ：
εεε
+>-<+><=+><≤+
≤∑∑==N
n n n N n n e y x e x e y y x 1
21
2
2
2
|,,||,|2
||||||||
ε+⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛>-<+><≤∑∑==2
1212|,||,|N
n n N
n n e y x e x （三角不等式）
ε+-+-⋅+><≤∑=2
12
||||||||||||2|,|y x y x x e x N n n （用21
2|||||,|u e u N
n n ≤><∑=放大）
εε
)14
||(|||,|1
2++
+><≤∑∞
=x e x n n ，
由0>ε的任意性，及Bessel 不等式有∑∞
=><=1
2|,|||||n n e x x 。即∀x ∈X ，Parseval 等
式成立，所以{ e n }是完备的标准正交系。
27. 设X 为内积空间，{ e n }是X 的标准正交系。证明：∀x , y ∈X ，都有
|||||||||,,|1
y x e y e
x n n n
⋅≤>><<∑∞
=。
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